kongruencje dowód

[Ichigo0]

Udowodnić, że równanie nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych
\(2^x+7^y=19^y\)

[kerajs]

\(2^x+7^y=19^y\\
2^x=19^y-7^y\\
2^x=(19-7) \sum_{i=1}^{y}19^{y-i}7^{i-1} \\
2^x=2^2 \cdot 3 \cdot \sum_{i=1}^{y}19^{y-i}7^{i-1}
\)

[Ichigo0]

A jak to zrobić przy pomocy kongruencji?

[kerajs]

Podobnie
\(2^x \mod 3=(-1)^x\\
7^y \mod 3=1^y\\
19^y \mod 3=1^y\)
w równaniu
\(2^x=19^y -7^y\)
prawa strona jest podzielna przez \(3\) (bo \(1^y-1^y=0\)), a lewa strona nie.

[Ichigo0]

nie bardzo rozumiem ten dowód z kongruencjami możesz prosto to wyjaśnić?

[Ichigo0]

dlaczego w pierwszej linijce reszta jest równa (-1)^x?

[kerajs]

Gdyż 2 mod 3 przystaje do (-1) mod 3 (skoro 2 mod 3= (3-1) mod 3=(-1) mod 3 )

[Ichigo0]

Rozumiem Dziękuję