Funkcje cyklometryczne- RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

[aage13]

Rozwiąż nierówność:
a) \(\arcsin [\left( \frac{1}{2} \right)^x -1]< \arcsin \frac{1}{4}\)
b) \(\arccos \frac{x}{x-2}<\arccos \frac{x}{2} \)

[Jerry]

Rozwiąż nierówność:
a) \(arcsin [\left( \frac{1}{2} \right)^x -1]< arcsin \frac{1}{4}\)

\(D=\{x\in\rr;\ -1\le\left(\frac{1}{2} \right)^x -1\le1\}=\langle-1;+\infty)\)
Wobec rośnięcia funkcji \(y=\arcsin x\) mamy
\(\left( \frac{1}{2} \right)^x -1< \frac{1}{4}\\
\left( \frac{1}{2} \right)^x < \left( \frac{1}{2} \right)^{\log_{1\over2}\frac{5}{4}}\)
Wobec malenia funkcji \(y=\left( \frac{1}{2} \right)^x\)
\(x > \log_{1\over2}\frac{5}{4}\approx -0,32\\
x\in D\So x > \log_{1\over2}\frac{5}{4}\)

Pozdrawiam

[Galen]

Arc sin jest rosnąca,czyli większe wartości są dla większych argumentów.
\(a)
(\frac{1}{2})^x-1<\frac{1}{4}\\(\frac{1}{2})^x<\frac{5}{4}\\jeśli\;\;(\frac{1}{2})^x=\frac{1}{2}\;\;to\;\;x=log_{\frac{1}{2}}\frac{5}{4}\\log \;\;tu\;\;malejący\;\;więc\;x>log_{\frac{1}{2}}\frac{5}{4}\)

[Galen]

Arc cos jest malejąca,więc opuszczając arc cos zmieniasz zwrot nierówności.
\(\frac{x}{x-2}>\frac{x}{2}\\dziedzinę \;ustalasz\\-1<\frac{x}{x-2}<1\;\;\;\;\;\;i\;\;\;\;-1<\frac{x}{2}<1\)

Pozostaje wybrać część wspólną dziedziny i uzyskanego wyniku z pierwszej nierówności...

[Jerry]

Rozwiąż nierówność:
b) \(arccos \frac{x}{x-2}<arccos \frac{x}{2} \)

\(D=\{x\in\rr;\ x\ne2\wedge -1\le {x\over x-2}\le1\wedge -1\le {x\over2}\le1\}=\langle -2;1\rangle\)
Wobec malenia funkcji \(y=\arccos x\) mamy
\(\frac{x}{x-2}>\frac{x}{2}\quad |\cdot 2(x-2)^2\\
2x(x-2)<x(x-2)^2\\
x(x-2)(x-4)>0\wedge x\in D\So x\in (0;1\rangle\)

Pozdrawiam
PS. Sprawdź, proszę rachunki...