Własności relacji

[Fatal1ty]

Mam problem z 4 przykładami z tego zadania


Zad. I. Zwrotność, przeciwzwrotność, symetryczność, przeciwsymetryczność,
antysymetryczność , przechodniość, spójność. Uzasadnij które z własności mają następujące relacje.

1: Niech \(X = \cc\)= zbiór liczb zespolonych, czyli \(x=ax+bxi\, y=ay+byi, \)itp… Określmy relację:
\(\forall_{x,y\in \cc} (xRy ⟺ \Re x = \Re y)\)
2:Niech \(X = \nn\)= zbiór liczb naturalnych Określmy relację
\(\forall_{x,y\in \nn}(xRy ⟺ 2|x+y)\)
3:Niech \(X = \rr\) = zbiór liczb rzeczywistych. Określmy relację:
\(\forall_{x,y\in \rr} (xRy ⟺ |x| \neq |y|)\)
4:Niech\( X =\) zbiór wszystkich podzbiorów (A, B, C…) zbioru liczb rzeczywistych,
z wyjątkiem zbioru pustego. Określmy relację \(ρ\) na tych podzbiorach:
\( \forall_{A,B \subset R\setminus \emptyset } (ApB ⟺ A \cap B= \emptyset)\)

[J_u_s_t_y_n_a]

Odpowiem częściowo, to jest na podpunkt 4. Dwa niepuste podzbiory liczb rzeczywistych są w tej relacji, gdy są rozłączne.

Zwrotność
\( Niech \space {A \subset R\setminus \emptyset }. \\
AρA ⟺ A \cap A= \emptyset ⟺ A= \emptyset \space , co \space jest \space sprzeczne \space z \space {A \subset R\setminus \emptyset }. \\
Zatem \space relacja \space nie \space jest \space zwrotna.\)

Przeciwzwrotność
\( Niech \space {A \subset R\setminus \emptyset }. \\
\sim(AρA) ⟺ \sim(A \cap A= \emptyset) ⟺ \sim(A = \emptyset) ⟺ A \neq \emptyset \space , co \space jest \space spełnione \space dla \space każdego \space {A \subset R\setminus \emptyset }. \\
Zatem \space relacja \space jest \space przeciwzwrotna.

\)

Symetryczność
\( Niech \space {A, B \subset R\setminus \emptyset }. \\
AρB ⟺ A \cap B= \emptyset ⟺ B \cap A= \emptyset \space (z \space przemienności \space działania \space \cap ) \space \implies BρA \\
Zatem \space relacja \space jest \space symetryczna. \)

Przeciwsymetryczność
\( Niech \space {A, B \subset R\setminus \emptyset }. \\
Pokazaliśmy,\space że \space AρB \implies BρA \space, \space co \space jest \space sprzeczne \space z \space \sim(BρA) \\
Zatem \space relacja \space nie \space jest \space przeciwsymetryczna. \)

Antysymetryczność
\( Pokażemy,\space że \space relacja \space nie \space jest \space antysymetryczna \space na \space przykładzie.\\
Niech \space A= \{1,2\}, \space B= \{3,4\} \\
Zachodzi \space więc \space (AρB ∧ BρA), \space gdyż \space zbiory \space nie \space mają \space części \space wspólnej \space (są \space rozłączne).\space Jednocześnie \space A \neq B \space \\ (są \space to \space różne \space zbiory).\
Czyli \space relacja \space nie \space jest \space antysymetryczna. \)

Przechodniość
\( Relacja \space nie \space jest \space przechodnia, \space gdyż \space można \space wskazać \space zbiory \space takie, \space że \space (AρB ∧ BρC) \space, ale \space nie \space zachodzi \space AρC \space ,\\ \space np \space A= C= \{1,2\}, \space B= \{3,4\} \space (zbiór \space A \space jest \space rozłączny \space z \space B, \space zbiór \space B \space jest \space rozłączny \space z \space C, \space \\ ale \space A \space nie \space jest \space rozłączny \space z \space C) \\
\)

Spójność
\( Relacja \space nie \space jest \space spójna, \space ponieważ \space przykładowo \space dla \space zbiorów \space A= \{2,3\}, \space B= \{3,4\} , \\ \space nie \space zachodzi \space ani \space AρB, \space ani \space BρA , \space ani \space A=B. \space(nie \space są \space rozłączne, \space nie \space są \space też \space równe) \)

Pozdrawiam