Zbadać czy relacja jest funkcją

[rubbishbin_]

\(
1.\{(g,t),(g,q),(r,q),(r,t),(y,z),(l,z)\}\\
2. f \subset \rr ^{2}, \quad xfy \iff x^{2}+2xy=1\\
3. f \subset \rr \backslash \{0\} \times \rr , \quad xfy \iff x^{2}+2xy=0\\
4. f \subset KRZ^{2}, \quad xfy \iff x \wedge y \quad jest\quad tautologia\\
5. f \subset \rr _{+} ^{2}, \quad xfy \iff x^{2}+2xy=0\\
\)

Proszę o pomoc, nie wiem kompletnie jak się zabrać za takie zadania

[panb]

\(
1.\{(g,t),(g,q),(r,q),(r,t),(y,z),(l,z)\}\\
\)

Proszę o pomoc, nie wiem kompletnie jak się zabrać za takie zadania

Definicja

• Niech X i Y będą dowolnymi zbiorami. Jeżeli relacja dwuczłonowa f ⊂ X × Y spełnia następujący warunek: jeżeli dla każdego \(x \in X\) istnieje dokładnie jeden element \(y \in Y\), taki że \(x f y\), to relację tę nazywamy funkcją (odwzorowaniem).

Reasumując relacja nie jest funkcją, jeśli temu samemu argumentowi przyporządkowuje różne wartości.

Dlatego ta relacja nie jest funkcją, bo argumentowi r przyporządkowuje dwie różne wartości q i t (zakładam, że \(q\neq t\), bo oznaczono je różnymi literami).

[panb]

2.\( f \subset \rr ^{2}, \quad xfy \iff x^{2}+2xy=1\)

\(x^2+2xy=1 \So y= \frac{1-x^2}{2x} \text{ dla } x\neq0 \). Zatem \(\sim \exists y\in\rr: 0fy\) - to nie jest funkcja

[panb]

3. \(f \subset \rr \backslash \{0\} \times \rr , \quad xfy \iff x^{2}+2xy=0\\\)

\(\text{Dla } x\in \rr\bez\{0\}:\quad x^{2}+2xy=0 \iff x(x+2y)=0 \iff y=- \frac{1}{2}x\)
\(y=- \frac{1}{2}x \) to funkcja liniowa, więc ta relacja jest funkcją.