Dowody za pomocą indukcji matematycznej

[crookie]

Nie mogę przejść przez te dwa przykłady, przekształcam je tak żeby móc przekształcić je z założenia indukcyjnego, ale nie mogę doprowadzić tego do końca. Może ktoś ma jakiś pomysł?

1) \( \sum_{k=0}^{n-1} (n+k)(n-k) = \frac{n(n+1)(4n-1)}{6} \)
2) \(\prod_{k=1}^{n}(1+\frac{2}{k})=\sum_{k=1}^{n+1}k\)

[crookie]

Zapimniałem jeszcze o założeniu, n należy do liczb naturalnych (bez zera)

[panb]

Nie mogę przejść przez te dwa przykłady, przekształcam je tak żeby móc przekształcić je z założenia indukcyjnego, ale nie mogę doprowadzić tego do końca. Może ktoś ma jakiś pomysł?

1) \( \sum_{k=0}^{n-1} (n+k)(n-k) = \frac{n(n+1)(4n-1)}{6} \)
2) \(\prod_{k=1}^{n}(1+\frac{2}{k})=\sum_{k=1}^{n+1}k\)

\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} (n+k)(n-k)=(n+0)(n-0)+(n+1)(n-1)+\ldots+(n+n-2)(n-n+2)+(n+n-1)(n-n+1) =\\=
1(2n-1)+2(2n-2)+3(2n-3)+\ldots +(n-1)(2n-n+1)+n(2n-n)\)
\[ \sum_{k=0}^{n-1} (n+k)(n-k)=1(2n-1)+2(2n-2)+3(2n-3)+\ldots +(n-1)(n+1)+n\cdot n\]
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n}(n+1+k)(n+1-k)= 1(2n+1)+2(2n)+3(2n-1)+\ldots +n(2n-n+2)+(n+1)(2n-n+1)\)
\[ \sum_{k=0}^{n}(n+1+k)(n+1-k)=1(2n+1)+2(2n)+3(2n-1)+\ldots +(n-1)(n+3)+n(n+2)+(n+1)(n+1)\]

\(\displaystyle {\sum_{k=0}^{n}(n+1+k)(n+1-k)= [1(2n-1)+1\cdot2]+[2(2n-2)+2\cdot2]+[3(2n-3)+3\cdot2]+\ldots\\
+[(n-1)(2n-(n-1))+(n-1)\cdot2] +[n(2n-n)+n\cdot 2] +[(n+1)(2n-(n+1))+(n+1)\cdot2]=\\
=1(2n-1)+2(2n-2)+\ldots +(n-1)(n+1)+ \left[1\cdot2+2\cdot2+\ldots+n\cdot2 \right]+(n+1)(n+1)\stackrel{\text{z zał.}}{=} \\
= \frac{n(n+1)(4n-1)}{6}+2(1+2+\ldots+n)+(n+1)(n+1)=\frac{n(n+1)(4n-1)}{6}+n(n+1)+ (n+1)(n+1)=\\
=(n+1) \frac{n(4n-1)+6(2n+1)}{6}= \frac{(n+1)(n+2)(4n+3)}{6}= \frac{(n+1)(n+2)(4[n+1]-1)}{6} } \),

a to jest teza dla (n+1) - co kończy dowód.

[Icanseepeace]

2) \(\prod\limits_{k=1}^{n}(1+\frac{2}{k})=\sum\limits_{k=1}^{n+1}k\)

Sprawdzenie dla \( n = 1 \)
\( L = \prod\limits_{k = 1}^{1} (1 + \frac{2}{k}) = 1 + \frac{2}{1} = 1 + 2 = \sum\limits_{k = 1}^{2} k \)
Założenie:
\( \prod\limits_{k=1}^{n} (1 + \frac{2}{k}) = \sum\limits_{k = 1}^{n+1} k \)
Teza:
\( \prod\limits_{k=1}^{n+1} (1 + \frac{2}{k}) = \sum\limits_{k = 1}^{n+2} k \)
Dowód:
\( L = \prod\limits_{k=1}^{n+1} (1 + \frac{2}{k}) = [\prod\limits_{k=1}^{n} (1 + \frac{2}{k})] \cdot(1 + \frac{2}{n+1}) \stackrel{\text{Z}}{=}
(1 + \frac{2}{n+1}) \cdot \sum\limits_{k = 1}^{n+1}k = \sum\limits_{k = 1}^{n+1}k + \frac{2}{n+1} \sum\limits_{k=1}^{n+1} k = \\ = \sum\limits_{k = 1}^{n+1}k + \frac{2}{n+1} \cdot \frac{n + 2}{2} \cdot (n+1) = \sum\limits_{k = 1}^{n+1}k + (n + 2) = \sum\limits_{k = 1}^{n+2} k = P \)