Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć masę brył V: \(x^2 + y^2 \le z^2, x^2 + y^2 + z^2 \le 2z\) o o gęstości
ro(x, y, z) = 2z
Obliczyć masę bryły
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1508
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 399 razy
Re: Obliczyć masę bryły
\( M = \int\int\int_{(V)} z dx dy dz \)
Ze względu na symetrię obszaru względem czterech górnych oktantów prostokątnego układu współrzędnych w \( \rr^3\) możemy masę bryły zapisać jako
\( M = 4 \int\int\int_{(V')} z dx dy dz \)
Rozważamy odwzorowanie
\( T = (r, \alpha,\beta) \rightarrow [ r\cos(\alpha)\cos(\beta),\ \ r\sin(\alpha)\cos(\beta), \ \ r\sin(\beta)] \)
Jakobian odwzorowania \( |J(r,\alpha, \beta)|= r^2\cos(\beta). \)
\( T \) przekształca dyfeomorficznie zbiór otwarty
\( ( 0,\ \ 1) \times \left(0, \ \ \frac{\pi}{2}\right) \times \left(0, \ \ \frac{\pi}{4} \right) \)
na zbiór
\( (V') \setminus [0, 1)\times \{0\}\times (-1, \ \ 1). \)
Dlatego korzystając z twierdzenia o zamianie zmiennych i twierdzenia Tonellego, możemy napisać
\( M = 4 \int_{0}^{1}dr \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\alpha \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2\cdot r\sin(\beta)\cdot r^2\cos(\beta) d\beta \)
Proszę obliczyć całkę potrójną.
Ze względu na symetrię obszaru względem czterech górnych oktantów prostokątnego układu współrzędnych w \( \rr^3\) możemy masę bryły zapisać jako
\( M = 4 \int\int\int_{(V')} z dx dy dz \)
Rozważamy odwzorowanie
\( T = (r, \alpha,\beta) \rightarrow [ r\cos(\alpha)\cos(\beta),\ \ r\sin(\alpha)\cos(\beta), \ \ r\sin(\beta)] \)
Jakobian odwzorowania \( |J(r,\alpha, \beta)|= r^2\cos(\beta). \)
\( T \) przekształca dyfeomorficznie zbiór otwarty
\( ( 0,\ \ 1) \times \left(0, \ \ \frac{\pi}{2}\right) \times \left(0, \ \ \frac{\pi}{4} \right) \)
na zbiór
\( (V') \setminus [0, 1)\times \{0\}\times (-1, \ \ 1). \)
Dlatego korzystając z twierdzenia o zamianie zmiennych i twierdzenia Tonellego, możemy napisać
\( M = 4 \int_{0}^{1}dr \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\alpha \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2\cdot r\sin(\beta)\cdot r^2\cos(\beta) d\beta \)
Proszę obliczyć całkę potrójną.
-
janusz55
- Fachowiec
- Posty: 1508
- Rejestracja: 01 sty 2021, 09:38
- Podziękowania: 1 raz
- Otrzymane podziękowania: 399 razy
Re: Obliczyć masę bryły
Sprawdźmy
\(M = 4 \int_{0}^{1}dr \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\alpha \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2\cdot r\sin(\beta)\cdot r^2\cos(\beta) d\beta = 4\int_{0}^{1} r^3dr \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\alpha \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2\sin(\beta)\cos(\beta)d\beta \)
Całka wewnętrzna 1
\( I_{1} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2\sin(\beta)\cos(\beta) d\beta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin(2\beta)d\beta = -\frac{1}{2}\cos(2\beta)|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2}[ \cos(0) - \cos(\pi) ]= \frac{1}{2}(1- 0) = \frac{1}{2}. \)
Całka wewnętrzna 2
\( I_{2} = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d \alpha = \frac{1}{2}\cdot \alpha|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}.\)
Całka zewnętrzna (masa bryły)
\( I = M = 4\cdot \frac{\pi}{4} \int_{0}^{1}r^3 dr = \pi \cdot \frac{1}{4}r^{4}|_{0}^{1} = \frac{\pi}{4}\cdot 1 = \frac{\pi}{4}. \)
\(M = 4 \int_{0}^{1}dr \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\alpha \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2\cdot r\sin(\beta)\cdot r^2\cos(\beta) d\beta = 4\int_{0}^{1} r^3dr \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\alpha \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2\sin(\beta)\cos(\beta)d\beta \)
Całka wewnętrzna 1
\( I_{1} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 2\sin(\beta)\cos(\beta) d\beta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin(2\beta)d\beta = -\frac{1}{2}\cos(2\beta)|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2}[ \cos(0) - \cos(\pi) ]= \frac{1}{2}(1- 0) = \frac{1}{2}. \)
Całka wewnętrzna 2
\( I_{2} = \frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d \alpha = \frac{1}{2}\cdot \alpha|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}.\)
Całka zewnętrzna (masa bryły)
\( I = M = 4\cdot \frac{\pi}{4} \int_{0}^{1}r^3 dr = \pi \cdot \frac{1}{4}r^{4}|_{0}^{1} = \frac{\pi}{4}\cdot 1 = \frac{\pi}{4}. \)