Moment statyczny - całki

[Kiki01]

Obliczyć moment statyczny względem płaszczyzny OYZ krzywej określonej równaniami:
\[L:\,\, y=\sqrt{1-x^2}, \,\, z=1,\,\, x\in [0,1], \]
jeżeli gęstość masy \(\rho(x,y,z)=ye^{-x\sqrt{x^2+y^2}} \)

[panb]

Prosze o pomoc
1.png
A może tak:
Obliczyć moment statyczny względem płaszczyzny OYZ krzywej określonej równaniami:
\[L:\,\, y=\sqrt{1-x^2}, \,\, z=1,\,\, x\in [0,1], \]
jeżeli gęstość masy \(\rho(x,y,z)=ye^{-x\sqrt{x^2+y^2}} \)

\(\displaystyle M_{YZ}=\int_Lx\rho(x,y,z)\,{dl}\)
Parametryzacja:
\( \begin{cases}x=\cos t\\y=\sin t \\z=1\\t\in \left[ 0 , \frac{\pi}{2} \right]\\dl=\sqrt{(-\sin t)^2+\cos^2t}dt=dt \end{cases} \)

\[M_{YZ}= \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \cos t \sin t e^{-\cos t}\,{dt} \begin{vmatrix}-\cos t=u \So \sin t{dt}=du\\\cos t=\sqrt{1-u^2} \\ t=0 \So u=-1\\ t=\frac{\pi}{2} \So u=0\end{vmatrix} = \int_{-1}^{0}e^u\sqrt{1-u^2}\, {du} \]

[panb]

We wzorze na \(\rho\) nie ma z. Dziwne!