Zbadać moc każdego z następujących zbiorów:

[marcinNM]

\( (a)X=\{(a, b)⊆R|a, b∈Z, a < b\};\)
\( (b)X=\{(a, b)⊆R|a, b∈Q, a < b\};\)
\( (c)X=\{(a, b)⊆R|a, b∈R, a < b\};\)
\( (d)X=\{x∈R|ax^2+bx+c= 0 \text{ dla pewnych } a, b, c∈Z\};\)
\( (e)X=\{x∈R|ax^2+bx+c= 0 \text{ dla pewnych } a, b, c∈Q\}; \)
\( (f)X=\{x∈R|ax^2+bx+c= 0 \text{ dla pewnych} a, b, c∈R\}; \)
\( (g)\) zbiór wszystkich ciągów liczb rzeczywistych zbieżnych do zera;
\( (h) \) zbiór wszystkich funkcji ciągłych określonych na \(R \) o wartościach w \(R \);
\( (i)\{(x, y)∈Q^2:x^2+y^2= 1\};\)

[grdv10]

Przeliczalne: a,b,d,e,i
NIeprzeliczalne: c,f,g,h

Najciekawszy jest punkt g). Otóż funkcja ciągła \(f\colon\rr\to\rr\) jest wyznaczona jednoznacznie przez swoje wartości w punktach wymiernych. A funkcji \(f\colon\qq\to\rr\) jest continuum.

[marcinNM]

Jak to uzasadnić?

[grdv10]

Albo odwołać się do definicji, albo do znanych konstrukcji zbiorów czyli np. iloczynu kartezjańskiego.