ZBIORY

[agataaag]

1. Proszę uzasadnić, że jeśli dla każdego n zachodzi inkluzja \(A⊂B_n\), to zachodzi również inkluzja \(A⊂\cap_{n=1}^{ \infty} B_n\).

2. Niech An={(−1)n,0}. Proszę wyznaczyć zbiory \( \cup_{n=1}^{ \infty }( \cap_{k=n}^{ \infty } A_k)\) oraz \( \cap_{n=1}^{ \infty }( \cup_{k=n}^{ \infty } A_k)\)(oczywiście odpowiedź należy uzasadnić).

[grdv10]

1. Niech \(x\in A\). Oznacza to, że dla każdego \(n\in\nn\) mamy \(x\in B_n\). Co stąd wynika?

2. Nieprecyzyjny zapis zbioru \(A_n\) nie pozwala na pomoc w rozwiązaniu. Wskazówka: zobacz jak wygląda pierwszych kilka zbiorów w tym ciągu. Czy jest to zbiór dwuelementowy, czy przedział? Jaki jest pierwszy element tego zbioru?

[agataaag]

Oczywiście \(A_n=\{(-1)^n, 0\}\)
Czyli z tego rozumiem, że
\(A_1=\{-1,0\}\)
\(A_2=\{1,0\}\)
\(A_3=\{-1,0\}\)
I sumą byłyby zbiory \(\{\{-1,0\},\{1,0\}\}\)
Natomiast przekrój byłby pusty??
A co gdy nałożymy na to odpowiednio przekrój i sumę?

[grdv10]

Niestety. Suma nie jest takim zbiorem.

[agataaag]

To czy suma będzie po prostu \(\{-1,0,1\}\) ?

[grdv10]

Tak. No to teraz do dzieła. Jak widzimy, i części wspólne, i sumy (w środku wskazanych działań) stabilizują się...

[agataaag]

Ale co teraz? Jak nałożymy sumę na przekrój i przekrój na sumę? Jak to poprawnie zapisać?