Szeregi, granice ciągu, metryka

[krniasty]

1. Zbadać zbieżność szeregów:
a) \(\sum_{ n=1 }^{\infty} \frac{\sin n}{10n^2} \)
b) \(\sum_{ n=1 }^{\infty} \frac{2n^3}{n!} \)

2. Wyznaczyć promień i przedział zbieżności szeregu potęgowego: \(\sum_{ n=1 }^{\infty} \frac{(n+1)!(x+7)^n}{(2n-1)!} \). Czy szereg ten jest zbieżny w punkcie \(x = -13\)?

3.
a) Obliczyć granicę ciągu \(an = \sqrt[n]{7\cdot2^n+3\cdot8^n} \)
b) Zbadać zbieżność szeregu: \(\sum_{ n=1 }^{\infty} (\frac{2n-12}{4n-2})^{3n} \)

4. Wykazać, że funkcja d: \(\cc \times \cc: \to [0, + \infty) \) dana wzorem d(n,m) = \(| \frac{1}{n} - \frac{1}{m} \) jest metryką w zbiorze \(\cc:\).Wyznaczyć kulę \(K(-2, \frac{1}{3}) \) w tej metryce.

[krniasty]

1, 3 zrobione.

[panb]

2. Wyznaczyć promień i przedział zbieżności szeregu potęgowego: \(\sum_{ n=1 }^{\infty} \frac{(n+1)!(x+7)^n}{(2n-1)!} \). Czy szereg ten jest zbieżny w punkcie \(x = -13\)?

\(R= \Lim_{n\to \infty } \frac{(n+1)!}{(2n-1)!}\cdot \frac{(2n+1)!}{(n+2)!}= \Lim_{n\to \infty } \frac{(2n+1)\cdot 2n}{n+2} =+\infty\)

Jest zbieżny w punkcie x=-13