rozwinięcie dwumianowe

[kate84]

W rozinięciu dwumianowym wyrazenia:
a. \((x^5- \frac{2}{x^3} )^{12}\) znajdz współczynnik przy \(x^{20}\)
b. \((3 \sqrt[4]{x^3}+ \sqrt{x})^{18} \) znajdz współczynnik przy \(x^{12}\)

[kerajs]

Wpierw wylicz k:
a)
\(20=5k+(-3)(12-k)\)
b)
\(12= \frac{3}{4}k+ \frac{1}{2}(18-k) \)
a potem odpowiedni współczynnik.

[kate84]

a.
k=7

b.
k=12

ale jak dalej?

[kerajs]

\((a+b)^n= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}a^kb^{n-k} \)
a)
\( { 12\choose 5} (x^5)^7( \frac{-2}{x^3} )^{12-7} =...\)

[kate84]

czyli w a. -25344 tak?

[kate84]

tak?
b)
\( { 18\choose \frac{4}{3} } (x^{ \frac{4}{3} })^{12}( \sqrt{x} )^{18-12} =...\)

[kerajs]

ad a) Nawet nie sprawdzam, czy \(- 2^5 \cdot { 12\choose 5} \) daje taki wynik. To kwestia rachunkowa, a nie merytoryczna.
Ponadto, najtańszy kalkulator jest mniej omylny w obliczeniach niż ja.

b)
\( { 18\choose \frac{4}{3} } (x^{ \frac{4}{3} })^{12}( \sqrt{x} )^{18-12} =...\)

Raczej:
\( { 18\choose 12 } (3x^{ \frac{3}{4} })^{12}( \sqrt{x} )^{18-12} =...\)
Przypuszczam, że dla sprawdzającego wynik \(3^{12} \cdot { 18\choose 12} \) będzie wystarczający.

[kate84]

\( { 18\choose 12} \)?

[kerajs]

Nie.
Czytaj uważniej, proszę. Przecież już podałem wynik:

wynik \(3^{12} \cdot { 18\choose 12} \)