Funkcje zdaniowe

[matmatako]

1) Przy użyciu symboli \( 0,1,+,⋅,\le,| \) oraz symboli logicznych zapisz następujące funkcje zdaniowe:
a) x jest liczbą parzystą,
b) x jest liczbą pierwszą,
c) x jest liczbą złożoną,
d) \(x=NWD(y,z)\),
e) każde dwie liczby mają \(NWW \),
f) nie istnieje największa liczba pierwsza,
g) każda liczba parzysta większa od \(2\) jest sumą dwóch liczb pierwszych,
h) każda liczba naturalna jest sumą czterech kwadratów liczb naturalnych

2) Niech zakresem zmienności zmiennych będzie zbiór \(R\) liczb rzeczywistych. Za pomocą symboli logicznych oraz symboli
\( =,<, \le ,+,⋅,\qq \) zapisz następujące formuły:
a) kwadrat każdej liczby jest nieujemny,
b) liczba \(a\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(A\),
c) \(x\) jest liczbą złożoną,
d) pomiędzy dwiema różnymi liczbami rzeczywistymi istnieje liczba wymierna

3) Naszkicuj w układzie współrzędnych następujące podzbiory płaszczyzny \(R\). Zbadaj, czy podana relacja \(R\) jest funkcją. Jeśli tak, określ jej dziedzinę i przeciwdziedzinę. Jeśli nie, wyjaśnij dlaczego.
(a) \( R\subset \rr×\rr,\ R=\{(x,y):x^2=y^2\}\)
(b) \( R\subset\rr×\rr,\ R=\{(x,y):x^3=y^3\}\)
(c) \( R\subset\rr×\rr,\ R=\{(x,y):x=y^2\}\)
(d) \( R\subset\rr×\rr,\ R=\{(x,y):x=2^y\}\)

[Jerry]

2) Niech zakresem zmienności zmiennych będzie zbiór \(R\) liczb rzeczywistych. Za pomocą symboli logicznych oraz symboli \( =,<, \le ,+,⋅,\qq \) zapisz następujące formuły:
a) kwadrat każdej liczby jest nieujemny,
b) liczba \(a\) jest ograniczeniem górnym zbioru \(A\),
c) \(x\) jest liczbą złożoną,
d) pomiędzy dwiema różnymi liczbami rzeczywistymi istnieje liczba wymierna

a) \( \forall _{x\in\rr}\ x^2\ge0\)
b) \(\forall_{x\in A}\ x\le a \)
c) \(\exists_{y\in\zz}\ (1<y<x\wedge y|x) \)
d) \(\forall_{x_1, x_2\in\rr}\ \exists_{y\in\qq}\ (x_1<x_2\Rightarrow x_1<y<x_2)\)

Pozdrawiam

[Jerry]

3) Naszkicuj w układzie współrzędnych następujące podzbiory płaszczyzny \(R\). Zbadaj, czy podana relacja \(R\) jest funkcją. Jeśli tak, określ jej dziedzinę i przeciwdziedzinę. Jeśli nie, wyjaśnij dlaczego.
(a) \( R\subset \rr×\rr,\ R=\{(x,y):x^2=y^2\}\)

Graficznym obrazem tej relacji są proste \(y=x\) oraz \(y=-x\). Ta relacja nie jest jedno-jednoznaczna, bo \((1,-1),\ (1,1)\in R\), czyli nie jest funkcją.

(b) \( R\subset\rr×\rr,\ R=\{(x,y):x^3=y^3\}\)

Graficznym obrazem tej relacji jest prosta \(y=x\), jest ona jedno-jednoznaczna, jest funkcją \(f\colon\rr\to\rr\) określoną wzorem \(f(x)=x\)

(c) \( R\subset\rr×\rr,\ R=\{(x,y):x=y^2\}\)

... parabola o wierzchołku \((0,0)\) i ramionach otwartych w prawo - nie jest

(d) \( R\subset\rr×\rr,\ R=\{(x,y):x=2^y\}\)

... krzywa wykładnicza,... \(f(x)=\log_2 x\), \(f\colon\rr_+\to\rr\)

Pozdrawiam

[matmatako]

Dziękuję. Nie za bardzo wiem jak takie zadania wykonywać...
czy w 1 będzie tak?
a) \( { \forall x \in R (x\cdot x>0) } \)
b) \( ∃k ∈N (x≠k ∧ k|x) \)

nie wiem jak resztę zrobić...

[Jerry]

Grasz na dwóch forach i to nieczysto...

Pozdrawiam