Zadanie z indukcji

[Kowal1998]

udowodnij metodą indukcji matematycznej, że dla dowolnego \(n \in \nn\)

\(1^2 - 2^2 + ... + (-1)^{n -1} *n^2 = (-1)^{ \frac{(n-1)n(n+1)}{2}} \)

[panb]

udowodnij metodą indukcji matematycznej, że dla dowolnego \(n \in \nn\)

\(1^2 - 2^2 + ... + (-1)^{n -1} *n^2 = (-1)^{ \frac{(n-1)n(n+1)}{2}} \)

Zapis jest niepoprawny. Powinno być \[1^2 - 2^2 + ... + (-1)^{n -1} \cdot n^2 = (-1)^{n-1} \cdot \frac{n(n+1)}{2}\]

Dla n=1, mamy \(L=1^2=1,\quad P=(-1)^0 \cdot \frac{1 \cdot 2}{2} =1\), więc L=P czyli twierdzenie jest prawdziwe dla n=1
Załóżmy prawdziwość twierdzenia dla n=k, tzn. \(1^2 - 2^2 + ... + (-1)^{k -1} \cdot k^2 = (-1)^{k-1} \cdot \frac{k(k+1)}{2}\)
Dla n=k+1, mamy
\(1^2 - 2^2 + ... + (-1)^{k -1} \cdot k^2+(-1)^k \cdot (k+1)^2 {\buildrel Z\over =} (-1)^{k-1} \frac{k(k+1)}{2}+(-1)^k(k+1)^2 = \\ =(-1)^k \left[ - \frac{k(k+1)}{2}+(k+1)^2 \right] =(-1)^k \left[ \frac{-k^2-k+2k^2+4k+2}{2} \right]=(-1)^k \frac{(k^2+3k+2}{2}=
=(-1)^k \cdot \frac{(k+1)(k+2)}{2},\\ \text{ a to jest teza twierdzenia dla } n=k+1. \)

Na mocy indukcji twierdzenie jest prawdziwe dla każdego \(n\in \nn\).

[Kowal1998]

Dziękuje za odpowiedz, to już wiem dlaczego mi nie wychodziło