Udowodnij,że

Zbiory, relacje, logika
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
LudwikM
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 65
Rejestracja: 03 lut 2019, 16:11
Podziękowania: 26 razy
Płeć:

Udowodnij,że

Post autor: LudwikM »

Udowodnij,że jeśli \((a_n)\) jest ciągiem arytmetycznym i każdy jego wyraz jest różny od 0, to: \(\frac{1}{a_1*a_2}+ \frac{1}{a_2*a_3} +...+ \frac{1}{a_{(n-1)}*a_n} = \frac{n-1}{a_1*a_n} \)
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Re: Udowodnij,że

Post autor: radagast »

LudwikM pisze: 12 paź 2019, 20:36 Udowodnij,że jeśli \((a_n)\) jest ciągiem arytmetycznym i każdy jego wyraz jest różny od 0, to: \(\frac{1}{a_1*a_2}+ \frac{1}{a_2*a_3} +...+ \frac{1}{a_{(n-1)}*a_n} = \frac{n-1}{a_1*a_n} \)
indukcyjnie:
dla n=2
\(L=\frac{1}{a_1 \cdot a_2}\)
\(P=\frac{2-1}{a_1 \cdot a_2}\)
\(L=P\)
założenie indukcyjne:
istnieje n, t.ze \(\frac{1}{a_1 \cdot a_2}+ \frac{1}{a_2 \cdot a_3} +...+ \frac{1}{a_{n-1} \cdot a_n} = \frac{n-1}{a_1 \cdot a_n} \)
teza \(\frac{1}{a_1 \cdot a_2}+ \frac{1}{a_2 \cdot a_3} +...+ \frac{1}{a_{(n-1)} \cdot a_n} +\frac{1}{a_{n} \cdot a_{n+1}}= \frac{n}{a_1 \cdot a_{n+1}} \)
dowód
\(L=\frac{1}{a_1 \cdot a_2}+ \frac{1}{a_2 \cdot a_3} +...+ \frac{1}{a_{n-1} \cdot a_n} +\frac{1}{a_{n} \cdot a_{n+1}}=\frac{n-1}{a_1 \cdot a_n} +\frac{1}{a_{n} \cdot a_{n+1}}=\frac{(n-1)\cdot a_{n+1}}{a_1 \cdot a_n\cdot a_{n+1}} +\frac{a_1}{a_1 \cdot a_{n} \cdot a_{n+1}}=\frac{(n-1)\cdot a_{n+1}}{a_1 \cdot a_n\cdot a_{n+1}} +\frac{a_1}{a_1 \cdot a_{n} \cdot a_{n+1}}=\\
\frac{(n-1)\cdot a_{n+1}+a_1}{a_1 \cdot a_n\cdot a_{n+1}}=\frac{n\cdot a_{n+1}-a_{n+1}+a_1}{a_1 \cdot a_n\cdot a_{n+1}}=\frac{n\cdot a_{n}+nr-a_{1}-nr+a_1}{a_1 \cdot a_n\cdot a_{n+1}}=\frac{n\cdot a_{n}}{a_1 \cdot a_n\cdot a_{n+1}}= \frac{n}{a_1 \cdot a_{n+1}}=P\)
kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2963
Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
Podziękowania: 33 razy
Otrzymane podziękowania: 1303 razy
Płeć:

Re: Udowodnij,że

Post autor: kerajs »

\(L=\frac{1}{a_1a_2}+ \frac{1}{a_2a_3} +...+ \frac{1}{a_{(n-1)}a_n} = \frac{n-1}{a_1a_n}= \frac{1}{r} \left( \frac{r}{a_1a_2}+ \frac{r}{a_2a_3} +...+ \frac{r}{a_{(n-1)}a_n} \right) =\frac{1}{r} \left( \frac{a_2-a_1}{a_1a_2}+ \frac{a_3-a_2}{a_2a_3} +...+ \frac{a_n-a_{n-1}}{a_{(n-1)}a_n} \right) = \\ =\frac{1}{r} \left( \frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_2}+ \frac{1}{a_2}-\frac{1}{a_3} +...+ \frac{1}{a_{(n-1)}}- \frac{1}{a_n}
\right) =\frac{1}{r} \left( \frac{1}{a_1}- \frac{1}{a_n} \right) =\frac{1}{r} \left( \frac{a_n-a_1}{a_1a_n} \right) =\frac{1}{r} \left( \frac{a_1+(n-1)r-a-1}{a_1a_n} \right) =\frac{1}{r} \left( \frac{(n-1)r}{a_1a_n} \right) =\\=\frac{n-1}{a_1a_n}=P \)
ODPOWIEDZ