Teoria mnogości

Zbiory, relacje, logika
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Bnsn1399
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 28
Rejestracja: 22 paź 2016, 18:14
Podziękowania: 2 razy

Teoria mnogości

Post autor: Bnsn1399 » 12 maja 2019, 12:20

Mam problem z zadaniami, w których trzeba udowodnić, że dwa zbiory są sobie równe.
Np. Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A i B zachodzą następujące równości:
a) \((A \cup B) \bez B=A\)
b) \((A \bez B) \cup B=A\)

W odpowiedziach jest: Wykaż, że dla dowolnych dwóch zbiorów A i B zachodzi inkluzja \((A \cup B) \bez B \subset A\). Następnie jeśli \((A \cup B) \bez B=A\) oraz \(x \in A\), to \(x \in (A \cup B)\B\), stąd wynika, że \(x \notin B\). Zatem \(A \cap B = \emptyset\). Na odwrót, jeśli \(A \cap B= \emptyset\) i \(x \in A\), to \(x \in A \cup B\) i \(x \notin B\). Zatem \(A \subset (A \cup B) \bez B\), czyli \(A=(A \cup B)\B\). Dowód (b) jest podobny.

Gdy narysuję sobie to w postaci diagramu, to widzę, że to prawda, ale nie potrafię zrozumieć tego dowodu, a tym bardziej ułożyć go np. do podpunktu b.

Jest też takie zadanie: Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów \(A\) i \(B\), jeśli \(A \bez B = B \bez A\), to \(A=B\).
W odpowiedziach jest: \(A \bez B \subset A\) oraz \((B\A) \cap A= \emptyset\). Stąd wynika, że \(A \bez B = B \bez A = \emptyset\).
I tutaj tak samo, wydaje mi się, że to jest zbiór pusty, ale nie rozumiem tego dowodu, oraz nie potrafię wymyślić własnego.
Jak poradzić sobie z takimi zadaniami? Rozumiem elementy tych dowodów, ale nie potrafię ich połączyć w całość, żeby mi dały odpowiedź na pytanie. Np. w drugim dowodzie, widzę, że \(A \bez B \subset A\) oraz \((B\A) \cap A= \emptyset\), ale nie widzę już, że z tych dwóch elementów wynika \(A \bez B = B \bez A = \emptyset\).

radagast
Guru
Guru
Posty: 16705
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 22 razy
Otrzymane podziękowania: 7051 razy
Płeć:

Re: Teoria mnogości

Post autor: radagast » 12 maja 2019, 18:52

Bnsn1399 pisze:Mam problem z zadaniami, w których trzeba udowodnjest natoić, że dwa zbiory są sobie równe.
Np. Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A i B zachodzą następujące równości:
a) \((A \cup B) \bez B=A\)
Obawiam się, że tego się nie da udowodnić, bo to nie jest prawda :(
Prawdą jest ,że \((A \cup B) \bez B=A \bez B\)
Natomiast to co napisałeś jest prawdą pod warunkiem , że zbiory A i B są rozłączne.
b) też nie jest prawdą.