Strona 1 z 1
wyraz ciągu
: 14 mar 2019, 11:46
autor: lolipop692
Dla każdych z podanych rekurencyjnych definicji znajdź wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu. odpowiedź poprzyj dowodem.
\(a_1=3\), \(a_{n+1}=a_n(2a_n+1)^{-1}\)
dla wszystkich \(n \in N\)
: 14 mar 2019, 13:15
autor: radagast
\(a_1=3\), \(a_{n+1}= \frac{a_n}{2a_n+1}\)
\(a_n= \frac{3}{6n-5}\)
dowód (indukcyjny):
dla n=1
\(a_1= \frac{3}{6 \cdot 1-5} =3\) OK
zał ind: istnieje \(n\in N\) takie ,że \(a_n= \frac{3}{6n-5}\)
teza: \(a_{n+1}= \frac{3}{6(n+1)-5}\)
dowód:
\(a_{n+1}=\frac{a_n}{2a_n+1}= \frac{ \frac{3}{6n-5}}{2 \frac{3}{6n-5}+1}= \frac{3}{6+6n-5} =\frac{3}{6(n+1)-5}\)
cbdo