wyraz ciągu

Zbiory, relacje, logika
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
lolipop692
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 98
Rejestracja: 31 paź 2018, 00:03
Podziękowania: 37 razy
Płeć:

wyraz ciągu

Post autor: lolipop692 » 14 mar 2019, 12:46

Dla każdych z podanych rekurencyjnych definicji znajdź wzór ogólny na n-ty wyraz ciągu. odpowiedź poprzyj dowodem.
\(a_1=3\), \(a_{n+1}=a_n(2a_n+1)^{-1}\)
dla wszystkich \(n \in N\)

radagast
Guru
Guru
Posty: 16726
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 25 razy
Otrzymane podziękowania: 7062 razy
Płeć:

Post autor: radagast » 14 mar 2019, 14:15

\(a_1=3\), \(a_{n+1}= \frac{a_n}{2a_n+1}\)
\(a_n= \frac{3}{6n-5}\)
dowód (indukcyjny):
dla n=1
\(a_1= \frac{3}{6 \cdot 1-5} =3\) OK
zał ind: istnieje \(n\in N\) takie ,że \(a_n= \frac{3}{6n-5}\)
teza: \(a_{n+1}= \frac{3}{6(n+1)-5}\)
dowód:
\(a_{n+1}=\frac{a_n}{2a_n+1}= \frac{ \frac{3}{6n-5}}{2 \frac{3}{6n-5}+1}= \frac{3}{6+6n-5} =\frac{3}{6(n+1)-5}\)
cbdo