Przeliczalność i równoliczność

[Wiktoria5698]

Bardzo proszę o pomoc w zadaniach, z którymi zmagam się już jakiś czas. Możliwe, że w pytaniu kilka odpowiedzi jest prawidłowych.

Oznaczenia:
N - zbiór liczb naturalnych
Z - zbiór liczb całkowitych
Q - zbiór liczb wymiernych
R - zbiór liczb rzeczywistych
\(\gamma ( X )\) - zbiór podzbiorów zbioru X


Zadanie 1

Który ze zbiorów jest przeliczalny?
a) \(R \bez Q\)
b) \(R \cap Q\)
c) \(R \times Z\)
d) \(R \cup N\)

Zadanie 2

Zbiór \(\gamma ( \nn )\) jest równoliczny ze zbiorem:
a) \(N\)
b) \(Z\)
c) \(Q\)
d) \(R\)

Zadanie 3

Który ze zbiorów jest nieprzeliczalny:

a) \({x \in R : x^2 > x}\)
b) \({x \in R : x > 0 \wedge x < 1}\)
c) \({x \in R : x - 2,85 \in N}\)
d) \({x \in R : x = \frac{1}{x} }\)

[radagast]

Bardzo proszę o pomoc w zadaniach, z którymi zmagam się już jakiś czas.

Coś mi się zdaje Wiktoria, że ciemnotę nam wciskasz. Toż to wystarczy zajrzeć do notatek z wykładu (albo do podręcznika).

[Wiktoria5698]

Mam swoje typy odpowiedzi, ale nie wiem, czy są prawidłowe. Przykładowo, w zadaniu pierwszym, jeśli w punkcie a) będą dwa zbiory przeliczalne, to wtedy koncowy zbiór będzie przeliczalny?

Jak interpretować zbiór podzbiorów zbioru X, czy są to liczby naturalne, rzeczywiste...?

Czy wystarczy, że jest jakaś przerwa w zbiorze (nie są uwzględnione wszystkie liczby) i wtedy nie jest on przeliczalny?

Proszę o pomoc

[radagast]

Zadanie 1

Który ze zbiorów jest przeliczalny?
a) \(R \bez Q\)
b) \(R \cap Q\)
c) \(R \times Z\)
d) \(R \cup N\)

a) \(R \bez Q\) nie jest przeliczalny, bo to jest zbiór liczb niewymiernych.
b) \(R \cap Q\) jest przeliczalny, bo to po prostu jest Q
c) \(R \times Z\) nie jest przeliczalny, bo to jest zbiór par w których pierwszych elementów jest nieprzeliczalnie wiele
d) \(R \cup N\) nie jest przeliczalny, bo zawiera zbiór nieprzeliczalny (R)

Jasne ?

[radagast]

Zadanie 2

Zbiór \(\gamma ( \nn )\) jest równoliczny ze zbiorem:
a) \(N\)
b) \(Z\)
c) \(Q\)
d) \(R\)

moc zbioru \(\gamma ( \nn )\) to \(2^{|N|}=|R|\) (na pewno było na wykładzie). No to odpowiedź d ( i tylko d, bo pozostałe są przeliczalne , też na pewno było na wykładzie)

[radagast]

Zadanie 3

Który ze zbiorów jest nieprzeliczalny:

a) \({x \in R : x^2 > x}\)
b) \({x \in R : x > 0 \wedge x < 1}\)
c) \({x \in R : x - 2,85 \in N}\)
d) \({x \in R : x = \frac{1}{x} }\)

a) \({x \in R : x^2 > x}\) jest nieprzeliczalny, bo zawiera \(R_-\), który jest nieprzeliczalny
b) \({x \in R : x > 0 \wedge x < 1}\) jest nieprzeliczalny, bo to odcinek (0,1)
c) \({x \in R : x - 2,85 \in N}\) jest przeliczalny , bo N jest przeliczalny
d) \({x \in R : x = \frac{1}{x} }\) jest skończony ( ma dwa elementy) , a więc przeliczalny.

[Wiktoria5698]

Bardzo dziękuję

[Wiktoria5698]

Dlaczego w zadaniu 3 punkcie d) przyjmujemy, że zbiór ma 2 elementy?

[radagast]

\(x= \frac{1}{x} \iff x^2=1 \iff x \in \left\{-1,1 \right\}\)

[Wiktoria5698]

Ślicznie dziękuję