Indeksowana rodzina zbiorów

[Belissar]

Hej, mam takie zadanie, gdzie nie jestem pewien poprawności swojego rozumowania. Byłbym bardzo wdzięczny gdyby ktoś potwierdził czy jest poprawnie, czy gdzieś się pomyliłem (szczególnie jeśli chodzi o końcówkę).
Niech \(A_t : t \in \rr\) będzie indeksowaną rodziną zbiorów, zdefiniowanych w następujący sposób:
{\(A_t= x \in \rr : |x-5| <t-[t]+2\)}
Gdzie [t] jest częścią całkowitą liczby t.
Znajdź sumę oraz iloczyn \(A_t\) - nie bardzo wiem jak zapisać to w LaTeXie, posłużę się po prostu odpowiednio \(\cup\) i \(\cap\)

1 przypadek: \(x-5 \ge 0\), \(x \ge 5\), a więc \(5 \le x \le t-[t]+7\)
\(t-[t]+7 \in [7;8)\). Wiadomo też, że \(x \ge 5\), a więc każdy x znajdzie się w przedziale \([5;7)= \cap A_b\), a "niektóre" także w przedziale \([5;8)= \cup A_b\)
2 przypadek: \(x<5\), a więc \(5>x>-t+[t]+3\)
\(-t+[t]+3 \in (2;3]\). Wiadomo też, że \(x<5\), a więc każdy x znajdzie się w przedziale \((3;5)= \cap A_c\), a "niektóre" także w przedziale \((2;5)= \cup A_c\).
Stąd \(\cup A_t\)=\([5;8) \cup (2;5)=(2;8)\), \(\cap A_t=[5;7) \cap (3;5)= \emptyset\)

[Panko]

\(\left\{t \right\} =t-[t]\) oraz \(0 \le \left\{ t\right\} <1\) \(\\) stąd :\(\\) \(0 \le t- [t] <1\)
stąd : \(2 \le t- [t] +2 <3\) , \(\\) \(t \in R\)
Oznaczając \(r= t- [t] +2\) , \(\\) jesr \(r \in [2,3)\)
...............................................................................
czyli Twoje \(A_t=B_r= (5-r , 5+r)\) gdzie r przebiega : \(r \in [2,3)\)

jeżeli \(r_2>r_1\) \(\\) to \(\\) \(B_{r_1} \subset B_{r_2}\)
..............................................................................

Widać ,że \(\\) \(\cap A_t= (3,7)\) ,\(\) \(\\) \(\\) \(\cup A_t= (2,8)\)