Dowód na tożsamość (iloczyn kartezjański)

[Belissar]

Mam 2 tożsamości do sprawdzenia - jeśli są prawdziwe należy to udowodnić, jeśli nie - podać kontrprzykład.
1. \((A \cup B) \times (C \cup D)=(A\times C) \cup (B\times D)\)

Zrobiłem to w ten sposób, że wziąłem parę (x,y)\(\in\)\((A \cup B) \times (C \cup D)\), zapisałem że x jest zbiorem elementów \(\in A \cup B\), y zbiorem elementów \(\in C \cup D\). Analogicznie a jest zbiorem elementów \(\in A\), b zbiorem elementów \(\in C\), m zbiorem elementów \(\in B\), n zbiorem elementów \(\in D\). Dodałem (a,b) i (m,n), czyli zsumowałem elementy zbioru A z tymi ze zbioru B, a elementy ze zbioru C z tymi ze zbioru D, także po obu stronach otrzymałem to samo, (x,y). Jest to poprawnie udowodnione czy może w ogóle pomieszałem coś tutaj?

2. Polecenie to samo, P należy rozumieć jako zbiór potęgowy:
\(P(A\times B)=P(A)\times P(B)\)
Narysowałem diagram Venna, znalazłem 4 pary liczb znajdujące się w zbiorze \(A\times B\). Ze wzoru na ilość podzbiorów w zbiorze potęgowym wyszło że jest ich 2⁴=16.
Następnie obliczyłem ilość podzbiorów w zbiorach potęgowych P(A) i P(B), wyszło po 4, w tym po jednym zbiorze pustym. Po rozpisaniu tego iloczynem kartezjańskim otrzymujemy inne wyniki niż wcześniej, w dodatku jest ich tylko 9, bo o ile dobrze rozumiem iloczyn kartezjański, w którym jednym z elementu jest zbiór pusty, daje po prostu zbiór pusty. To by wskazywało że tożsamość jest fałszywa, ale też nie jestem pewien czy zrobiłem to jak trzeba.

[Panko]

1. Jeśli chcesz zobaczyć jak to działa ( lewa i prawa strona kandydata na tożsamość) to na osi OX rysujesz
\(A=[0,1]\) , \(B=[2,3]\) i na osi OY podobnie \(C=[0,1] ,D=[2,3]\)
Robisz podane produkty kartezjańskie obu stron i widać , że nie są równe .
..............................................................................
Tak obrazkowo jeden to cztery prostokąty a drugi dwa .
.............................................................................

[Panko]

2.
argumentacja dla liczności zbiorów gdy \(A,B\) są skończone .
\(|A|=n,|B|=m\)
\(P(A)=2^n,P(B)=2^m\)
\(|P(A) \times P(B)| =2^{n+m}\)

\(|A \times B|= n \cdot m\)
\(|P( A \times B)|=2^{n \cdot m}\)

[Belissar]

Dziękuję serdecznie, chwilę zajęło mi ogarnięcie interpretacji geometrycznej iloczynu kartezjańskiego, ale przyda się bardzo.