Udowodnij, że podane liczby są niewymierne:
a)\(\tg 1\)
b)\(\sqrt[3]{2} - \sqrt{2}\)
dowód niewymierności
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
michal486
- Rozkręcam się
- Posty: 39
- Rejestracja: 20 wrz 2016, 11:25
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 14 razy
- Płeć:
\(a)\)
załóżmy, że \(tg1^o\) jest liczbą wymierną.
W takim razie \(tg2^o\) również jest liczbą wymierną, tak samo jak \(tg 4^o, tg 8^o, tg 16^o, tg 32^o, \ldots\)
(wiemy to, ze wzoru na \(tg 2 \alpha\), bo \(tg 2 \alpha = \frac{2 tg \alpha }{1 - tg^2 \alpha }\))
Następnie ze wzoru na \(tg(\alpha - \beta ) = \frac{tg \alpha - tg \beta }{1 + tg \alpha \cdot tg \beta }\)
Wyznaczmy \(tg 30^o\), gdyż wynosi on \(\frac{\sqrt{3} }{3}\)
\(tg30^o = tg(32^o-2^o) = \frac{tg 32^o - tg 2^o}{1+tg32^o \cdot tg2^o}\)
No i tutaj wychodzi nam sprzeczność, gdyż wg założenia \(tg1^o\) jest wymierny tak jak \(tg 32^o\) oraz \(tg2^o\)
A różnica liczb wymiernych jest liczbą wymierną.
załóżmy, że \(tg1^o\) jest liczbą wymierną.
W takim razie \(tg2^o\) również jest liczbą wymierną, tak samo jak \(tg 4^o, tg 8^o, tg 16^o, tg 32^o, \ldots\)
(wiemy to, ze wzoru na \(tg 2 \alpha\), bo \(tg 2 \alpha = \frac{2 tg \alpha }{1 - tg^2 \alpha }\))
Następnie ze wzoru na \(tg(\alpha - \beta ) = \frac{tg \alpha - tg \beta }{1 + tg \alpha \cdot tg \beta }\)
Wyznaczmy \(tg 30^o\), gdyż wynosi on \(\frac{\sqrt{3} }{3}\)
\(tg30^o = tg(32^o-2^o) = \frac{tg 32^o - tg 2^o}{1+tg32^o \cdot tg2^o}\)
No i tutaj wychodzi nam sprzeczność, gdyż wg założenia \(tg1^o\) jest wymierny tak jak \(tg 32^o\) oraz \(tg2^o\)
A różnica liczb wymiernych jest liczbą wymierną.
-
michal486
- Rozkręcam się
- Posty: 39
- Rejestracja: 20 wrz 2016, 11:25
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 14 razy
- Płeć:
\(b)\)
Niech \(x = \sqrt[3]{2} - \sqrt{2}\)
\(x + \sqrt{2} = \sqrt[3]{2}\)
Podnieśmy obustronnie do potęgi trzeciej.
\(x + \sqrt{2} = \sqrt[3]{2}\) \(/ ^3\)
\(x^3 + 3 \sqrt{2}x^2 + 6x + 2\sqrt{2} = 2\)
\(x^3 + 6x - 2 = - 2\sqrt{2} - 3 \sqrt{2}x^2\)
\(x^3 + 6x - 2 = \sqrt{2}(-2 - 3x^2)\)
Podnieśmy te równanie do kwadratu.
\(x^3 + 6x - 2 = \sqrt{2}(-2 - 3x^2)\) \(/^2\)
\(x^6 + 12x^4 - 4x^3 + 36x^2 -24x + 4 = 2(4+12x^2+9x^4)\)
\(x^6 + 12x^4 - 4x^3 + 36x^2 -24x + 4 = 8 + 24x^2 + 18x^4\)
\(x^6 - 6x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 24x - 4 = 0\)
I teraz korzystamy z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych.
(sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego i wyrazu przy iksie o największym stopniu - u nas wynosi on 1 (bo \(1x^6\)
No i jeśli nie znajdziemy pośród dzielników liczby 4 pierwiastka tego wielomianu, to oznacza, że nie ma on pierwiastków wymiernych)
Niech \(x = \sqrt[3]{2} - \sqrt{2}\)
\(x + \sqrt{2} = \sqrt[3]{2}\)
Podnieśmy obustronnie do potęgi trzeciej.
\(x + \sqrt{2} = \sqrt[3]{2}\) \(/ ^3\)
\(x^3 + 3 \sqrt{2}x^2 + 6x + 2\sqrt{2} = 2\)
\(x^3 + 6x - 2 = - 2\sqrt{2} - 3 \sqrt{2}x^2\)
\(x^3 + 6x - 2 = \sqrt{2}(-2 - 3x^2)\)
Podnieśmy te równanie do kwadratu.
\(x^3 + 6x - 2 = \sqrt{2}(-2 - 3x^2)\) \(/^2\)
\(x^6 + 12x^4 - 4x^3 + 36x^2 -24x + 4 = 2(4+12x^2+9x^4)\)
\(x^6 + 12x^4 - 4x^3 + 36x^2 -24x + 4 = 8 + 24x^2 + 18x^4\)
\(x^6 - 6x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 24x - 4 = 0\)
I teraz korzystamy z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych.
(sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego i wyrazu przy iksie o największym stopniu - u nas wynosi on 1 (bo \(1x^6\)
No i jeśli nie znajdziemy pośród dzielników liczby 4 pierwiastka tego wielomianu, to oznacza, że nie ma on pierwiastków wymiernych)
-
michal486
- Rozkręcam się
- Posty: 39
- Rejestracja: 20 wrz 2016, 11:25
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 14 razy
- Płeć:
Drugi sposób na b) :
Niech \(x = \sqrt[3]{2} - \sqrt{2}\), gdzie jest on wg założenia liczbą wymierną.
\(x + \sqrt{2} = \sqrt[3]{2}\) podnosimy obustronnie do potęgi trzeciej.
\(x + \sqrt{2} = \sqrt[3]{2}\) \(/ ^3\)
\((x + \sqrt{2})^3 = 2\)
\(x^3 + 3x^2 \sqrt{2} + 6x + 2 \sqrt{2} = 2\)
\(\sqrt{2}(3x^2 + 2) = 2 - 6x - x^3\)
\(\sqrt{2} = \frac{2 - 6x - x^3}{3x^2 +2}\)
I tutaj otrzymujemy sprzeczność :
Liczba po lewej stronie jest niewymierna, liczba po prawej stronie jest wymierna, gdyż według założenia x jest liczbą wymierną.
Niech \(x = \sqrt[3]{2} - \sqrt{2}\), gdzie jest on wg założenia liczbą wymierną.
\(x + \sqrt{2} = \sqrt[3]{2}\) podnosimy obustronnie do potęgi trzeciej.
\(x + \sqrt{2} = \sqrt[3]{2}\) \(/ ^3\)
\((x + \sqrt{2})^3 = 2\)
\(x^3 + 3x^2 \sqrt{2} + 6x + 2 \sqrt{2} = 2\)
\(\sqrt{2}(3x^2 + 2) = 2 - 6x - x^3\)
\(\sqrt{2} = \frac{2 - 6x - x^3}{3x^2 +2}\)
I tutaj otrzymujemy sprzeczność :
Liczba po lewej stronie jest niewymierna, liczba po prawej stronie jest wymierna, gdyż według założenia x jest liczbą wymierną.