Metryka

[dante666]

Witam.. Czy ma ktoś doświadczenie z rozwiązywaniem zadań z metryka to proszę o pomoc..

Treść zadania:
Niech d: \(\rr^2 \to [0, \infty )\)ma postać:\(d(x;y)= | \frac{x}{1+|x|} - \frac{y}{1+|y|}|\).
a) Zbadać czy para \(\left\langle \rr ^2;d \right\rangle\) jest przestrzenia metryczną.
b)Jeśli odp. pozytywna, to wyznaczyć kulę \(B(1; \frac{1}{4})\).

[Panko]

1. \(\forall\)\(x,y \in R\) \(\\) \(d(x,y)=0\) \(\iff\) \(x=y\)
kłopot może sprawiać wynikanie \(\So\)
Zakładamy ,że \(\frac{x}{1+|x|} =\frac{y}{1+|y|}\)
Ponieważ mianowniki są dodatnie to liczniki muszą mieć te same znaki czyli : \(x \cdot y \ge 0\) . Czyli \(\\)\(xy=|xy|\)
Wracam do : \(\frac{x}{1+|x|} =\frac{y}{1+|y|}\) . Po wymnożeniu jest :
\(x-y= y \cdot |x|-x \cdot |y|\) i podnoszę do kwadratu stronami .
\((x-y)^2=( y \cdot |x|-x \cdot |y| )^2= 2xy \cdot (xy-|xy| )\)
Ale \(xy=|xy|\) .
Stąd \((x-y)^2=( y \cdot |x|-x \cdot |y| )^2= 2xy \cdot (xy-|xy| ) =0\)
Czyli \((x-y)^2=0\)
\(x=y\)
2. Symetria wynika z \(|x|= |-x|\)
3. Warunek \(\Delta\)
wystarczy ,że zastosujemy nierówność : \(|a+b| \le |a|+|b|\) i do niej podstawimy
\(a= \frac{x}{1+|x|} -\frac{z}{1+|z|}\) \(\\) ,\(\\) \(b=\frac{z}{1+|z|} -\frac{y}{1+|y|}\)\(\\) i dostajemy nierówność trójkąta .
Czyli para jest przestrzenią metryczną.

[dante666]

Wielkie Dzięki a co do podpunktu b) ?

[Panko]

\(B(1,\frac{1}{4})= \left\{ x \in R: d(x,1)< \frac{1}{4} \right\}\)

\(| \frac{x}{1+|x|} -\frac{1}{2}|< \frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{4} < \frac{x}{1+|x|} < \frac{3}{4}\)
Ponieważ dla \(x<0\) jest \(\\) \(\frac{x}{1+|x|} <0\) wystarczy rozwiazać dla \(x>0\)

\(\frac{1}{4} < \frac{x}{1+x} < \frac{3}{4}\) \(\\) i \(\\) \(x>0\)

Stąd \(x \in ( \frac{1}{3} ,3)\)

ODP : \(B(1,\frac{1}{4})= \left\{ x \in R: d(x,1)< \frac{1}{4} \right\}\)= \(( \frac{1}{3} ,3)\)

[dante666]

Jeszcze raz dziękuję...