Znaleźć wartość funkcji.

[mansons]

Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji:
\(f(x)=(x-2) e^{2x}\)

[Galen]

\(f(x)=(x-2)e^{2x}\\D_f= \rr\)
\(\Lim_{x\to - \infty }f(x)=0\\ \Lim_{x\to + \infty }f(x)=+ \infty\)
Pochodna i ekstrema:
\(f'(x)=e^{2x}+2(x-2)e^{2x}=e^{2x} \cdot (1+2x-4)=(2x-3)e^{2x}\\f'(x)=0\;\;\;gdy\;\;\;2x-3=0\\x= \frac{3}{2}\)
Znak f'
\(e^{2x}>0\\f'(x)>0\;\;\;gdy\;\;\;2x-3>0\\x> \frac{3}{2}\\f'(x)<0\;\;gdy\;\;\;2x-3<0\\x< \frac{3}{2}\)
\(f_{min}=f( \frac{3}{2})=( \frac{3}{2}-2)e^3=- \frac{1}{2}e^3 = -\frac{e^3}{2}\)
Najmniejsza wartość funkcji \(y=- \frac{e^3}{2}\)
Największej nie ma.

[Binio1]

Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji:
\(f(x)=(x-2) e^{2x}\)

\(f(x) = xe^{2x} - 2e^{2x}\)
\(f'(x) = e^{2x}(2x-3)\)

\(e^{2x}(2x-3) = 0\)
\(2x - 3 = 0\)
\(x = \frac{3}{2}\)

\(f'(0) = -3\) Funkcja maleje w przedziale \((-\infty; \frac{3}{2}]\)
\(f'(2) = e^4\) Funkcja rosnie w przedziale \([\frac{3}{2}; \infty)\)

Wiec
\(f(\frac{3}{2}) = \frac{3}{2}e^3 - 2e^3\) Wartosc najmniejsza funkcji

\(\Lim_{x\to\infty} (x-2)e^{2x} = \infty\) Tak wiec funkcja nie ma wartosci najwiekszej

[mansons]

Pochodna i ekstrema:
\(f'(x)=e^{2x}+2(x-2)e^{2x}=e^{2x} \cdot (1+2x-4)=(2x-3)e^{2x}\\f'(x)=0\;\;\;gdy\;\;\;2x-3=0\\x= \frac{3}{2}\)

Skąd się wzięła ta dwójka przed nawiasem na początku? Nie bardzo rozumiem w jaki sposób jest liczona pochodna w tym przypadku.

[Galen]

\([(x-2)e^{2x}]'=(x-2)'e^{2x}+(x-2)(e^{2x})'=1 \cdot e^{2x}+(x-2) \cdot (2x)' \cdot e^{2x}=e^{2x}+(x-2) \cdot 2 \cdot e^{2x}\)

Funkcja \(y=e^{2x}\) to funkcja złożona ,typu f(g(x)) gdzie funkcja wewnętrzna to g(x)=2x,zaś zewnętrzna to \(e^{g(x)}\)
\([f(g(x))]'=g'(x) \cdot f'(g(x))\)
\((e^{2x})'=(2x)' \cdot e^{2x}=2e^{2x}\)