Dwa zadania z relacji matematycznych

[NieRozumiem85]

Zadanie 1
a)Udowodnij, że relacja podzielności zdefiniowana na zbiorze liczb naturalnych od 1 jest relacją częściowego porządku.
b)Dany jest zbiór X={1,2,3,4,6,12,22} uporządkowany częściowo relacja podzielności. Narysuj diagram tej relacji. Wyznacz elementy minimalne, maksymalne, największe, najmniejsze, odpowiedzi uzasadnij.
c)Jakie elementy minimalne i maksymalne ma ta relacja określona na x=N2 (liczby naturalne od 2). Odpowiedź uzasadnij.
d)Udowodnij, że w dowolnej relacji częściowego porządku, jeśli istnieje element największy, to jest on dokładnie jeden.

Zadanie 2
Dana jest relacja na zbiorze N określona wzorem - xRy <=> 2|x+y
a)Udowodnij, że R jest relacją równoważności.
b)Wyznacz klasy abstrakcji i zbiór ilorazowy.
c)Określ czo odwzorowanie f:N/~->Z dana wzorem f([n])=-n jest funkcją.

[radagast]

Zadanie 2
Dana jest relacja na zbiorze N określona wzorem - xRy <=> 2|x+y
a)Udowodnij, że R jest relacją równoważności.

-zwrotna , bo \(2|x+x,\ bo\ 2|2x\)
-symetryczna, bo \(2|x+y \So 2|y+x,\ bo \ dodawanie\ jest\ przemienne\)
-przechodnia , bo \(2|x+y \wedge 2|y+z \So 2|x+z, bo\ x+y=2k \ \vee y+z=2l \So x+z+2y=2l \So x+z=2(l-y) \So x+z=2m\)

[radagast]

Zadanie 2
Dana jest relacja na zbiorze N określona wzorem - xRy <=> 2|x+y
b)Wyznacz klasy abstrakcji i zbiór ilorazowy.

Moim zdanie klasy abstrakcji są dwie (parzyste i nieparzyste), a zbiór ilorazowy to \(\left\{[0],[1] \right\}\) ale to nie jest nic pewnego , bo na ten temat wiem tyko tyle ile przeczytałam w wipedii.

[radagast]

Zadanie 2

c)Określ czy odwzorowanie f:N/~->Z dana wzorem f([n])=-n jest funkcją.

nie, to nie jest funkcja. \(\left[1 \right] = \left[ 3\right]\) ale \(1 \neq 3\) czyli \(f \left( \left[ 1\right]\right)\) nie ma jednoznacznie określonej wartości (może to być zarówno 1, jak 3, jak każda liczba nieparzysta.

[lambda]

Zadanie 2
Dana jest relacja na zbiorze N określona wzorem - xRy <=> 2|x+y
b)Wyznacz klasy abstrakcji i zbiór ilorazowy.

klasy abstrakcji:
\([2k,k \in \nn ]_R= \left\{2l,l \in \nn \right\}=2 \nn\) (czyli parzyste)
\([2k+1,k \in \nn]_R= \left\{2l+1,l \in \nn \right\}=2 \nn +1\) (czyli nieparzyste)

Zbiór ilorazowy:
\(\frac{ \nn }{R}= \left\{2 \nn;2 \nn+1 \right\}\)