Arcusy - kilka zadań

[tyk3]

Witam. Mam kilka zadań, z którymi nie wiem jak sobie poradzić. Oto one:

1) Oblicz:
arc sin 3/5 + arc sin 12/13

2) Rozwiąż równanie:
sin x = 1/3 ( Czy istnieje jakaś metoda, aby to ładnie obliczyć ( np. korzystając z arcusów)? Czy da się to tylko zrobić z pomocą tablicy wartości funkcji trygonometrycznych?)

3) Oblicz:
cos ( 2 arc tg 1/7 )

Z góry dziękuję za pomoc

[panb]

Ad 1, albo tablice albo ... konstrukcyjnie, bo te wartości są podejrzanie dobrane (3, 4, 5 i 5, 12, 13 są w trójkątach prostokątnych). Patrz rysunek:

rys.png (9.6 KiB) Przejrzano 1887 razy

Ad 2.
\(\sin x= \frac{1}{3} \So x=\arcsin \left( \frac{1}{3} \right)+2k\pi \vee x=\pi- \arcsin \left( \frac{1}{3} \right)+2k\pi=(2k+1)\pi-\arcsin \left( \frac{1}{3} \right)\)
...
albo z tablic, ale trzeba pamiętać, że są dwa ciągi rozwiązań.

Ad 3
Niech \(\arctg \left( \frac{1}{7} \right)=\alpha \So \tg\alpha= \frac{1}{7}\)
Szukamy \(\cos \left(2\arctg(1/7) \right)=\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1\)
Z rysunku:

rys2.png (4.8 KiB) Przejrzano 1887 razy

\(x=5\sqrt2 \So \cos\alpha= \frac{7\sqrt2}{10} \So 2\cos^2\alpha-1= \frac{24}{25}\)
Składając to wszystko do kupy, mamy

Odpowiedź: \(\cos \left(2\arctg(1/7) \right)= \frac{24}{25}\)

[radagast]

1) Oblicz:
arc sin 3/5 + arc sin 12/13

policzmy
\(\sin \left( \arcsin \frac{3}{5}+ \arcsin \frac{12}{13} \right)=\\
\sin \left( \arcsin \frac{3}{5}\right)\cos \left( \arcsin \frac{12}{13} \right)+\cos \left( \arcsin \frac{3}{5}\right)\sin \left( \arcsin \frac{12}{13} \right) = \\
\frac{3}{5} \cos \left( \arcsin \frac{12}{13} \right)+ \frac{12}{13} \cos \left( \arcsin \frac{3}{5}\right) =\\
\frac{3}{5} \sqrt{1-\sin^2 \left( \arcsin \frac{12}{13} \right)} + \frac{12}{13} \sqrt{1-\sin^2 \left( \arcsin \frac{3}{5}\right)} =\\
\frac{3}{5} \sqrt{1- \frac{144}{169} } + \frac{12}{13} \sqrt{1- \frac{9}{25} } =
\frac{3}{5} \frac{5}{13} + \frac{12}{13} \frac{4}{5} = \frac{63}{65} \\\)
Wniosek: \(\arcsin \frac{3}{5}+ \arcsin \frac{12}{13} =\arcsin \frac{63}{65}\)

[panb]

To chyba nie tak. Każdy z arcusów daje kąt nieprzekraczający \(\pi/2\), ale ich suma może (i w tym przypadku tak jest) przekroczyć tę wartość. Wtedy ta suma nie będzie równa żadnemu arcusowi, tylko \(\pi - \arcsin \frac{63}{65}\).

[Panko]

Na kłopoty z arcusami : http://www.kowalskimateusz.pl/materialy/wzory3.1.pdf ---to tablice wzorów cyklometrycznych ( z wyprowadzeniami !)
np zadanie 1 .
to\(\\) \(arc \sin x+arc \sin y= \pi - arc \sin ( x \cdot \sqrt{1-y^2} +y \cdot \sqrt{1-x^2} )\) \(\\) \(\\) dla\(\\) \(y> \sqrt{1-x^2}\) i \(x,y>0\)
Tak jest w tym przykładzie .