Zadanie z indukcji

Zbiory, relacje, logika
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Pyra
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 3
Rejestracja: 07 kwie 2021, 00:15
Podziękowania: 2 razy

Zadanie z indukcji

Post autor: Pyra » 07 kwie 2021, 11:03

Korzystając z zasady indukcji udowodnij poniższe nierówności dla \(n \in N\) :
\(n^{n+1}>(n+1)^n \;\; (n\geq 3)\)

Bardzo proszę o pomoc.

Icanseepeace
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 47
Rejestracja: 03 kwie 2021, 21:36
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 26 razy
Płeć:

Re: Zadanie z indukcji

Post autor: Icanseepeace » 07 kwie 2021, 12:51

\( (n+1)^n < n^{n+1} \) dla \( n \geq 3 \)
Sprawdzenie dla n=3: \( 4^3 = 64 < 81 = 3^4 \)
Założenie: \( (n+1)^n < n^{n+1} \)
Teza: \( (n+2)^{n+1} < (n+1)^{n+2} \)
Dowód:
\( L = (n+2)^{n+1} = (n^2 + 2n)^{n+1} \cdot \frac{1}{n^{n+1}}
< (n^2 + 2n + 1)^{n+1} \cdot \frac{1}{n^{n+1}}
< (n^2 + 2n + 1)^{n+1} \cdot \frac{1}{(n+1)^n} = \)

\( = (n+1)^{2n + 2 - n} = (n+1)^{n+2} = P \)

Pyra
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 3
Rejestracja: 07 kwie 2021, 00:15
Podziękowania: 2 razy

Re: Zadanie z indukcji

Post autor: Pyra » 07 kwie 2021, 13:13

Dlaczego \(n^{n+1}\) można zamienić na \((n+1)^n\)?
Ostatnio zmieniony 07 kwie 2021, 13:19 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: "matematyka" w [tex] [/tex]

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1126
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 8 razy
Otrzymane podziękowania: 542 razy

Re: Zadanie z indukcji

Post autor: Jerry » 07 kwie 2021, 13:18

Pyra pisze:
07 kwie 2021, 13:13
Dlaczego n^(n+1) można zamienić na (n+1)^n?
Z założenia indukcyjnego!

Pozdrawiam
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .

Pyra
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 3
Rejestracja: 07 kwie 2021, 00:15
Podziękowania: 2 razy

Re: Zadanie z indukcji

Post autor: Pyra » 07 kwie 2021, 13:22

O kurde, rzeczywiście. Dziękuję bardzo