równanie w zbiorze liczb całkowitych

Ułamki, skala, procenty, wyrażenia algebraiczne.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
bllab
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 10
Rejestracja: 18 lis 2020, 20:30
Podziękowania: 4 razy
Płeć:

równanie w zbiorze liczb całkowitych

Post autor: bllab » 26 lis 2020, 19:19

Proszę o pomoc w rozwiązaniu równania diofantycznego (w liczbach całkowitych):
\(32x-20y=4\)

Awatar użytkownika
szw1710
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 629
Rejestracja: 04 sty 2020, 13:47
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 199 razy
Płeć:

Re: równanie w zbiorze liczb całkowitych

Post autor: szw1710 » 26 lis 2020, 19:44

Abstrahując od metod algebry, można to zrobić zwyczajnie geometrycznie. Wyliczamy \(y=\frac{8x-1}{5}.\) Widać, że równanie spełnia ją liczby \(x=2, y=3\). Geometrycznie z równania prostej widzimy, że posuwając się z \(x\) o 5 jednostek w prawo/lewo, \(y\) posuwa nam się odpowiednio o 8 jednostek w górę/dół. Więc mamy rozwiązania \(x=2+5k, y=3+8k\), gdzie \(k\in\Bbb Z.\) Pozostaje kwestiw wykazania, że w prostokącie o wierzchołkach lewym dolnym \((2,3)\) i prawym górnym \((7,11)\) prosta nie przechodzi przez żaden punkt kratowy. Pokaże to zwykły rachunek: podstawiamy kolejno \(x\in\{3,4,5,6\}\) otrzymując za każdym razem \(y\) niecałkowite.

Rozwiązanie z użyciem teorii podzielności:

Obliczamy \(8x=5y+1.\) Wyznaczmy reszty z dzielenia prawych stron, czyli liczb \(5y+1\) przez \(8\). Dla \(y=0,1,2,3,4,5,6,7\) są to odpowiednio \(1,6,3,0,5,2,7,4.\) Dlatego, skoro \(5y+1\) ma być podzielne przez \(8\), to musi być \(y=8k+3\), gdzie \(k\in\Bbb Z.\) Stąd łatwo już wyliczyć \(x=5k+2.\)
Oglądaj moją playlistę Matura rozgrzewka.

Awatar użytkownika
panb
Expert
Expert
Posty: 5048
Rejestracja: 26 kwie 2010, 22:54
Lokalizacja: Nowiny Wielkie
Podziękowania: 17 razy
Otrzymane podziękowania: 2010 razy
Płeć:

Re: równanie w zbiorze liczb całkowitych

Post autor: panb » 26 lis 2020, 20:02

bllab pisze:
26 lis 2020, 19:19
Proszę o pomoc w rozwiązaniu równania diofantycznego (w liczbach całkowitych):
\(32x-20y=4\)
Diofantyczne, nie diofantyczne i tak najpierw bym najpierw przez 5 obie strony podzielił. Wtedy mamy
\(8x-5y=1 \iff 8x=5y+1\). Niech \(y=8c+3, c\in\zz\). Wtedy
\(8x=5(8c+3)+1=40c+16=8(5x+2) \So x=5c+2\)
No i mamy rozwiązanie.

Odpowiedź: \(32x-20y=4, \text{ dla } x=5c+2,\,\, y=8c+3, \text{ gdzie } c\in\zz\)


bllab
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 10
Rejestracja: 18 lis 2020, 20:30
Podziękowania: 4 razy
Płeć:

Re: równanie w zbiorze liczb całkowitych

Post autor: bllab » 26 lis 2020, 20:05

dziękuję za szybką odpowiedź, jednak potrzebuję pomoc w rozwiązaniu za pomocą algorytmu Euklidesa z uwzględnieniem wszystkich rozwiązań.
Niestety nie mam pomysłu na dalszy przebieg obliczeń:
\(32x-20y=4\)
\(8x-5y=1\)
\(NWD(8,-5)=NWD(8,5)\)
\(8=1*5+3\)
\(5=1*3+2\)
\(3=1*2+1\)
\(2=1*2+0
\)

\(1=3-1*2 itd 1=2*8-3*5
x=2, y=-3
\)

jak zapisać wynik uwzględniając wszystkie rozwiązania?

Awatar użytkownika
szw1710
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 629
Rejestracja: 04 sty 2020, 13:47
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 199 razy
Płeć:

Re: równanie w zbiorze liczb całkowitych

Post autor: szw1710 » 26 lis 2020, 20:19

Analizuj algorytm Euklidesa linia po linii. Znajdziesz nim jedno z rozwiązań, a dalej jak w moim pierwszym rozwiązaniu.
Oglądaj moją playlistę Matura rozgrzewka.