czas i figury

[poldek60]

zad 1
Ile razy pomiędzy godziną 0:01 a 23:59 wskazówka godzinowa mija wskazówkę minutową?

zad 2
Na ile sposobów można pomalować trójkąt, kwadrat i koło mając do dyspozycji trzy farby: żółtą, czerwoną i zieloną? Figurę można pomalować tylko jednym kolorem, ale kilka figur może zostać pomalowana tym samym kolorem.

[Crazy Driver]

Ad 1. W ciągu minuty wskazówka godzinowa obraca się o kąt \(0,5^\circ\) względem środka tarczy, a minutowa o \(6^\circ\). O północy wskazówki się pokrywają. Wyznaczmy kolejny taki moment. Niech \(x\) oznacza liczbę minut, po których to nastąpi. Wskazówka godzinowa obróci się przez ten czas o kąt \(0,5x\) stopni, wskazówka minutowa o \(6x\), przy czym jej obrót będzie sumą pełnego obrotu wokół tarczy i obrotu, który wykona wskazówka godzinowa. To prowadzi do równania
\(0,5x+360=6x\).
Po każdym kolejnym upływie \(x\) minut wskazówki się spotkają. Aby wiedzieć, ile razy w ciągu doby się to stanie, wystarczy więc podzielić liczbę minut w dobie przez \(x\). Na koniec należy odjąć od wyniku \(1\), bo ostatnie spotkanie nastąpi o północy, a nas interesują spotkania między minutą po północy a minutą przed północą.

Ad 2. Trójkąt możemy pomalować na 3 sposoby. Do każdego koloru trójkąta możemy ustalić na 3 sposoby kolor kwadratu. Mamy więc 9 możliwości wybrania koloru dla obu figur. Do każdej z tych 9 możliwości dochodzą kolejne 3 możliwości pokolorowania koła.