Stereometria- Ostrosłupy

[Magdaa29]

1) W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna jest równa 10cm i tworzy z wysokością tego ostrosłupa kąt 30stopni. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

2)W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość podstawy h=6cm, kąt między ścianą boczną a podstawą a=60stopni. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tej bryły

3)Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o krawęzi podstawy 6cm, w którym kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy jest równy 60stopni.

4) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym długości wszystkich krawędzi są równe 8cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

5)W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym wszystkie krawędzie są równe, ich suma równa się 64cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa.

[irena]

1.
a- krawędź podstawy
R- promień okręgu opisanego na postawie
H- wysokość ostrosłupa
b=10cm - krawędź boczna

\(R=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

Trójkąt o bokach R, H, b to trójkąt prostokątny, w którym b jest przeciwprostokątną. Kąt \(30^0\) to kąt między bokami H i b.
Taki trójkąt to połowa trójkąta równobocznego, więc:
\(R=\frac{1}{2}b=5cm\\H=R\sqrt{3}\\H=5\sqrt{3}cm\)

\(\frac{a\sqrt{3}}{3}=5\\a\sqrt{3}=15\\3a=15\sqrt{3}\\a=5\sqrt{3}\\P_p=\frac{(5\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{75\sqrt{3}}{4}cm^2\)

\(V=\frac{1}{3}\cdot\frac{75\sqrt{3}}{4}\cdot5\sqrt{3}=\frac{375}{4}cm^3\)

[irena]

2.
h=6cm - wysokość podstawy
r- promień okręgu wpisanego w podstawę
a- krawędź podstawy
H- wysokość ostrosłupa
k- wysokość ściany bocznej

\(r=\frac{1}{3}h\\r=2cm\)

Trójkąt o bokach r, H, k to trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej k. Dany kąt to kąt między bokami r i b.
Ten trójkąt to połowa trójkąta równobocznego, więc:
\(k=2r\\k=4cm\\H=r\sqrt{3}\\H=2\sqrt{3}\)

\(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\\\frac{a\sqrt{3}}{2}=6\\a\sqrt{3}=12\\3a=12\sqrt{3}\\a=4\sqrt{3}\)

\(P_p=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{3}\cdot6=12\sqrt{3}cm^2\\V=\frac{1}{3}\cdot12\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3}=24cm^3\)

\(P_b=3\cdot\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{3}\cdot4=24\sqrt{3}cm^2\)

[irena]

3.
a=6cm - krawędź podstawy
r- promień okręgu wpisanego w podstawę
H- wysokość ostrosłupa
h- wysokość ściany bocznej.

\(r=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\\r=\frac{6\sqrt{3}}{6}=\sqrt{3}cm\)

Rozpatrujemy trójkąt prostokątny o bokach r, H, h
\(H=r\sqrt{3}\\H=3cm\)

\(P_p=\frac{6^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}cm^2\\V=\frac{1}{3}\cdot9\sqrt{3}\cdot3=9\sqrt{3}cm^3\)

[irena]

4.
a=8cm - krawędź podstawy
b=8cm - krawędź boczna
d- przekątna postawy
H- wysokość ostrosłupa

\(d=a\sqrt{2}\\d=8\sqrt{2}cm\)

Trójkąt o bokach d, b, b to trójkąt równoramienny.
Ponieważ
\(d^2=(8\sqrt{2})^2=128=b^2+b^2\)
więc trójkąt ten jest prostokątny.
Wysokość tego trójkąta poprowadzona na bok d jest równa połowie boku d. Wysokość ta to wysokość ostrosłupa
\(H=4\sqrt{2}cm\)

\(P_p=8^2=64cm^2\)

\(V=\frac{1}{3}\cdot64\cdot4\sqrt{2}=\frac{256\sqrt{2}}{3}cm^3\)

Ściany boczne to trójkąty równoboczne
\(P_b=4\cdot\frac{8^2\sqrt{3}}{4}=64\sqrt{3}cm^2\)

\(P_c=64+64\sqrt{3}=64(1+\sqrt{3})cm^2\)

[irena]

5.
Ostrosłup czworokątny ma 8 krawędzi. Stąd długość jednej krawędzi jest równa
\(\frac{64}{8}=8cm\)

I- dalej to zad. 4.

[Galen]

Zad.4
\(a=b=8cm\\
P_p=a^2=8^2=64cm^2\\
P_{boczne}=4\cdot \frac{b^2\sqrt{3}}{4}=4\cdot \frac{64\sqrt{3}}{4}=64\sqrt{3}cm^2\)
Do obliczenia wysokości H ostrosłupa zastosuj tw.Pitagorasa w trójkacie prostokątnym
o przyprostokątnych H i pół przekątnej podstawy,przeciwprostokątna to krawedź boczna b.
\(H^2+(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2=b^2\\
H^2=8^2-(4\sqrt{2})^2=64-32=32=16\cdot 2\\
H=4\sqrt{2}\\
V=\frac{1}{3}P_p\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 64\cdot 4\sqrt{2}=\frac{256\sqrt{2}}{3}cm^3\)

[Flayinglion]

Trójkąt o bokach r, H, k to trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej k. Dany kąt to kąt między bokami r i b.
Ten trójkąt to połowa trójkąta równobocznego...???

[irena]

Tak, bo jeden z jego kątów ma miarę \(60^0\)- daną w treści zadania