Zadanie z trójkątem

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
kuba [6]
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 136
Rejestracja: 13 lip 2012, 18:12
Podziękowania: 30 razy
Otrzymane podziękowania: 52 razy
Płeć:

Zadanie z trójkątem

Post autor: kuba [6] »

Dany jest trójkąt ABO, gdzie A i B są punktami przecięcia prostej y=2x-8 odpowiedni z osiami Ox i Oy, a punkt O jest początkiem układu współrzędnych. Prosta y=ax dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty, których stosunek pól wynosi 3:2. Wyznacz a. Rozważ wszystkie możliwości.
Niestety otrzymałem tyko jeden wynik: a=-2. Proszę o pomoc w odnalezieniu kolejnych rozwiązań. Z góry dziękuję. :D
Awatar użytkownika
lukasz8719
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 852
Rejestracja: 06 lut 2012, 17:03
Otrzymane podziękowania: 404 razy
Płeć:

Re: Zadanie z trójkątem

Post autor: lukasz8719 »

Powinny Ci wyjść dwa wyniki.
Punkty przecięcia z osiami współrzędnych: A(0,-8), B(4,0).
Stosunek pól ma być 2:3. Czyli musimy podzielić odcinek między tymi punktami w tym stosunku (zrób rysunek).
Policzmy sobie wektor \(\vec{AB}\)
\(\vec{AB}=[4,8]\)
Musimy teraz rozpatrzeć 2 podziały
1) Oznaczmy punkt C taki, że

\(|AC|= 3/5 |AB|
\(\vec{AC}=\vec 3/5 \vec{AB}=[2,4;4,8]
A+\vec{AC}=C
(0,-8)+[2,4;4,8]=(2,4;-3,2)\)

2) Oznaczmy punkt D taki, że

\(|AD|= \frac{2}{5}|AB|
\(\vec{AD}=2/5 \vec{AB}=[1,6;3,2]
A+\vec{AD}=D
(0,-8)+[1,6;3,2]=(1,6;-4,8)\)


Możemy liczyć teraz równania prostych
Dla \((1)\) podstawiamy punkt \(C\)
\(y=ax
-3,2=2,4a
a=-\frac{4}{3}\)


Dla \((2)\) podstawiamy punkt D

\(-4,8=1,6a
a=-3\)


Rozwiązanie bazuje na fakcie, iż na stosunek pól powstałych trójkątów ma wpływ jedynie długość podstaw (niezależnie od podziału trójkąty będą miały jednakową wysokość - na rysunku dobrze to widać)
Nie wiem czy to rozwiązania jest odpowiedne na poziom gimnazjum....\)
\)
kuba [6]
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 136
Rejestracja: 13 lip 2012, 18:12
Podziękowania: 30 razy
Otrzymane podziękowania: 52 razy
Płeć:

Post autor: kuba [6] »

Trochę skomplikowane,ale na szczęście rozumiem. Wielkie dzięki. :D
kuba [6]
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 136
Rejestracja: 13 lip 2012, 18:12
Podziękowania: 30 razy
Otrzymane podziękowania: 52 razy
Płeć:

Post autor: kuba [6] »

Po rozrysowaniu wszystko ładnie widać.Jeszcze raz dzięki za rozwiązanie i poprawę obliczenia w drugim podziale przez irenę.
Galen
Guru
Guru
Posty: 18457
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 4 razy
Otrzymane podziękowania: 9161 razy

Post autor: Galen »

Mam drugą propozycję ,opartą na polu trójkąta ABO.
\(A=(0;-8) \\
B=(4;0)\\
|A0|=8\;\;\;\;i\;\;\;\;|OB|=4\)

Policz długość przeciwprostokątnej AB z twierdzenia Pitagorasa
\(|AB|^2=4^2+8^2=16+64=80=16\cdot 5\\
|AB|=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\)

Pole trójkąta wyraź na dwa sposoby:
\(\frac{1}{2}|AO|\cdot |BO|=\frac{1}{2}|AB|\cdot h\)
h jest równa odległości wierzchołka O od prostej AB, natomiast punkt P jest punktem prostej AB ,przez który przechodzi
szukana prosta y=ax.
Pole trójkąta ABO :
\(P=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 4=16\\
P=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{5}\cdot h=16\\
h=\frac{16}{2\sqr{5}}=\frac{8}{\sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}\)

To jest wysokość trójkątów APO i BPO i ABO.
Podziel pole trójkąta na 2 części w stosunku 3:2.
\((16:5)\cdot 3=\frac{48}{5}=9,6\) to jest pole większej części, mniejszej \((16:5)\cdot 2=\frac{32}{5}=6,4\)
Najpierw rozważam sytuację,że większa część jest niżej,ale potem druga możliwość,że na dole jest mniejsza część.
Wysokość każdej z części jest taka sama \(h=\frac{8\sqrt{5}}{5}\),jedynie bok AP ma wpływ na pole.
\(Pole \;wiekszej\; czesci\;:\;9,6=\frac{1}{2}|AP|\cdot h\\
\frac{1}{2}\cdot |AP|\cdot \frac{8\sqrt{5}}{5}=9,6\\
|AP|=\frac{12\sqrt{5}}{5}=2,4\sqrt{5}\;\;wtedy\;\;|BP|=4\sqrt{5}-2,4\sqrt{5}=1,6\sqrt{5}\)

Oblicz współrzędne P=(x;y) przez który poprowadzi się prostą y=ax,wykorzystasz zależność
między wektorami AP i PB.
\(\vec{AP}=[x-0;y+8]= \frac{3}{5}\cdot \vec{AB}= \frac{3}{5} \cdot [4;8]\\
x= \frac{3}{5} \cdot 4= \frac{12}{5}=2,4\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;\;y+8= \frac{3}{5} \cdot 8 \;to\;\;\;y=4,8-8=-3,2\\
P=(2,4\;;\;-3,2)\\
Prosta \\
y=ax\\
-3,2=a\cdot 2,4\\
a=-\frac{3,2}{2,4}=- \frac{4}{3}\\
zatem\\
y=-\frac{4}{3}x\)

Druga możliwość,to trójkąt AOP jest mniejszą częścią AOB.
Wtedy
\(P_{\Delta APO}= \frac{2}{5}P_{ \Delta AOB}\\
\vec{AP}= \frac{2}{5} \cdot \vec{AB}\\
[x-0;y+8]= \frac{2}{5} \cdot [4;8]\\
x= \frac{2}{5} \cdot 4\;\;\;i\;\;\;y+8= \frac{2}{5} \cdot 8\\
x=1,6\;\;\;\;\;y=-4,8\\
Prosta\\
y=ax\\
-4,8=a\cdot 1,6\\
a=-3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;rownanie \;prostej\;:\;y=-3x\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
kuba [6]
Czasem tu bywam
Czasem tu bywam
Posty: 136
Rejestracja: 13 lip 2012, 18:12
Podziękowania: 30 razy
Otrzymane podziękowania: 52 razy
Płeć:

Post autor: kuba [6] »

Dzięki Galen.Twoje rozwiązanie jest łatwiejsze niż lukasza8719.Już więcej problemów z podobnymi miał nie będę. :D
ODPOWIEDZ