Układ równań w zadaniach z treścią

[kot508]

Zad.1 Liczba dwucyfrowa jest 10 razy większa od sumy swoich cyfr. Znajdz te liczbę jesli wiadomo, że cyfra dziesiątek tej liczby jest o 6 większa od cyfr jedności.

Zad.2.Suma licznika i mianownika ułamka wynosi 5.Jeśli licznik zwiększymy o 4, a mianownik zwiększymy dwa razy, to wartośc ułamka wyniesie 1. Jaki to ułamek?
PS: Ułamek powinien wyjśc dwie trzecie ale nie wiem jakie równania tu zastosowac.

Zad.3. Obwód prostokąta jest równy 44. Jeśli jeden bok skrócimy o 30% a drugi skrócimy o 2, to jego obwód zmniejszy sie o 10. Znajdz wymiary tego prostokąta.

Zad.4. Obwód prostokąta jest równy 50. Oblicz długość boków tego prostokata, jezeli długość jednego z jego boków stanowi 2/3 długości boku drugiego.

[ewelawwy]

1.
x-cyfra dziesiątek
y-cyfra jedności

\(\{10x+y=10\cdot (x+y)\\
x=6+y\)

z pierwszego równania od razu widać, że y=0
zatem z drugiego jeszcze bardziej widać, że x=6

ta liczba to 60

(ale nie pisz tego uzasadnienia moim sposobem, tylko ładnie rozwiąż układ równań )

[irena]

1.
x- cyfra dziesiątek
y- cyfra jedności

10x+y - szukana liczba
\(\begin{cases}10x+y=10(x+y)\\x=y+6 \end{cases} \\ \begin{cases}10x+y=10x+10y\\x=y+6 \end{cases} \\-9y=0\\y=0\\x=0+6\\ \begin{cases}x=6\\y=0 \end{cases} \\10x+y=60\)

[ewelawwy]

2.
x- licznik ułamka
y- mianownik ułamka \(y\neq 0\)

\(\{x+y=5\\
x+4=2y\)

(drugie równanie jest stąd, że zwiększony o 4 licznik to x+4, zwiększony 2krotnie mianownik to 2y, a wartość ułamka ma być 1 - wartość ułamka wynosi 1 wtedy, gdy licznik jest równy mianownikowi, dlatego po prostu trzeba przyrównać x+4 i 2y)

można zapisać to w ten sposób:

\(\{x+y=5\\
\frac{x+4}{2y}=1\)

[irena]

2.
x- licznik
y- mianownik

\(\frac{x}{y}\)- szukany ułamek

\(\begin{cases}x+y=5\\\frac{x+4}{2y}=1 \end{cases} \\x+4=2y\\x=2y-4\\2y-4+y=5\\3y-4=5\\3y=9\\y=3\\x=2\cdot3-4\\x=2\\\frac{x}{y}=\frac{2}{3}\)

[ewelawwy]

3.
x- jeden bok prostokąta
y- drugi bok prostokąta

pierwsze równanie na pewno będzie takie:
\(2x+2y=44\)

teraz obliczmy nowe (skrócone) boki prostokąta:
pierwszy zmniejszamy o 30% czyli otrzymamy: \(x-0,3x=0,7x\)
drugi skracamy o 2 czyli mamy: y-2
obwód zmniejszył się o 10, czyli wynosi 34

zatem drugie równanie ma postać:
\(2\cdot 0,7x+2(y-2)=34\)

stąd układ równań wygląda następująco:
\(\{2x+2y=44\\
2\cdot 0,7x+2(y-2)=34\)

[irena]

3.
x, y- boki prostokąta
0,7x , (y-2)- boki po skróceniu

\(\begin{cases}2(x+y)=44\\2(0,7x+y-2)=34 \end{cases}\)

[ewelawwy]

4.
x- krótszy bok
y- dłuższy bok

\(2x+2y=50\\
x=\frac {2y}3\)