funkcje trygonometryczne

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
zdania
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 4
Rejestracja: 18 kwie 2010, 13:41

funkcje trygonometryczne

Post autor: zdania » 24 maja 2010, 18:03

Oblicz pole prostokąta, jeżeli kąt miedzy przekątnymi wynosi \(60^{\circ}\), a dłuższy bok prostokąta ma 12 cm.

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9841 razy
Płeć:

Post autor: irena » 24 maja 2010, 18:17

Przekątne prostokąta są równe i dzielą się na połowy. Oznaczyłam połowę przekątnej - a.
Nazwij prostokąt ABCD, gdzie |AB|=|CD|=12cm. Punkt przecięcia nazwij O.
\(| \angle AOD|=| \angle BOC|=60^o\\| \angle AOB|=120^o\)
Trójkąt AOB jest trójkątem równoramiennym. Ramiona to OA i OB - mają długość a. Podstawa trójkąta ABC to AB o długości 12cm. Narysuj wysokość OK trójkąta AOB. Trójkąt OKB to trójkąt prostokątny, w którym |KB|=6cm i \(| \angle BOK|=60^o\). |OB|=a. Z tego trójkąta:
\(|OK|=\frac{1}{2}a\\\frac{a\sqrt{3}}{2}=6\\a\sqrt{3}=12\\a=\frac{12}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}cm\)

\(|OK|=\frac{1}{2}a=2\sqrt{3}\\|AD|=2|OK|\\|AD|=4\sqrt{3}cm\)

Pole:
\(P=|AB|\cdot|AD|\\P=4\sqrt{3}\cdot12=48\sqrt{3}cm^2\)

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9841 razy
Płeć:

Post autor: irena » 24 maja 2010, 18:24

Inaczej:
Jeśli |OA|=|OD|=a i \(| \angle AOD|=60^o\), to trójkąt AOD jest trójkatem równobocznym (równoramienny o kącie między ramionami \(60^o\)).. Stąd |AD|=a i |BD|=2a. Trójkąt ABD to trójkąt prostokątny o kącie \(60^o\). Jest on połową trójkąta równobocznego o wysokości 12cm.
Pole całego prostokąta ABCD jest więc równe polu trójkąta równobocznego o wysokości 12cm. Oznaczmy bok takiego trójkąta k
\(\frac{k\sqrt{3}}{2}=12\\k\sqrt{3}=24\\k=\frac{24}{\sqrt{3}}=8\sqrt{3}cm\)
Pole takiego trójkąta (i pole prostokąta):
\(P=\frac{k^2\sqrt{3}}{4}\\P=\frac{(8\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4}=\frac{64\cdot3\cdot\sqrt{3}}{4}=48\sqrt{3}cm^2\)

Hej! Wpisałeś zadanie do gimnazjum. A w gimnazjum nie ma funkcji trygonometrycznych. Masz więc zadanie rozwiązane bez funkcji trygonometrycznych.