Uczniowie i kółka

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
MaxiMini
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 17 gru 2019, 22:08

Uczniowie i kółka

Post autor: MaxiMini » 17 gru 2019, 22:09

Dzień dobry, mam problem z rozwiązaniem takiego zadania (szkoła podstawowa):

W szkole jest 15 kółek i 18 uczniów, z których każdy chodzi na 4 różne kółka.
Wykaż, że pewni dwaj uczniowie chodzą razem na co najmniej dwa kółka.

Poproszę o pomoc, siedzę nad tym już któryś dzień i nie mam pomysłu jak to zrobić.

korki_fizyka
Expert
Expert
Posty: 4056
Rejestracja: 04 lip 2014, 14:55
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 460 razy
Płeć:

Re: Uczniowie i kółka

Post autor: korki_fizyka » 17 gru 2019, 23:35

Pomoc w rozwiązywaniu zadań z fizyki, opracowanie statystyczne wyników "laborek", przygotowanie do klasówki, kolokwium, matury z matematyki i fizyki itd.
mailto: korki_fizyka@tlen.pl

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1515
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Podziękowania: 1 raz
Otrzymane podziękowania: 633 razy
Płeć:

Re: Uczniowie i kółka

Post autor: kerajs » 22 gru 2019, 09:39

Ponieważ \(4 \cdot 18=15 \cdot 4+kilku\) to istnieje przynajmniej jedno kółko na które uczęszcza więcej niż 4 uczniów.
Niech na pewne kółko (nazwę je kółko nr 1) uczęszcza pięciu uczniów: A,B,C,D i E. Zakładam, że nie spotykają się oni na żadnym innym kółku.
Wtedy A uczęszcza na trzy inne kółka (2,3 i 4), B na trzy jeszcze inne kółka (5,6 i 7), C na trzy jeszcze inne kółka (8,9 i 10) oraz D na trzy jeszcze inne kółka (11,12 i 13).
Jednak E chodzi tylko dwa kółka (14 i 15) na których nie ma żadnego z uczniów A,B,C,D. Jego ostatnim, czwartym kółkiem musi być takie na które uczęszcza jeden z nich.
Ergo, pewni dwaj uczniowie z piątki A,B,C,D i E chodzą razem na co najmniej dwa kółka, co potwierdza tezę.
Dla kółka na które chodzi więcej niż pięciu uczniów teza także jest prawdziwa, gdyż można z nich wybrać dowolną piątkę i przeprowadzić powyższe rozumowanie.