Kalkulator geometrii online

[wentigels]

Witam !
Czy ktoś zna kalkulator online do ćwiczeń z geometrii?

a) Punkty \(A (1; 2; 1); B (2; 1; 0); C (3; 3; a); D (4; 4; 4)\): Znajdź \(a\) tak, aby 4 punkty były współpłaszczyznowe .
b) Znajdź równanie rzutu przechodzącego przez środek odcinka \([MN]\) wyznaczonego przez następujące punkty: \(M (1; 2; 3)\) ¸si \(N(1; 4; 1)\), przez punkt \(P(2; 1 ; 1)\) ¸i jego równoległość z wektorem \(\vec v = \vec i + 2\vec j + \vec k\):

2) Wyznacz równanie sfery stycznej do prostej : \((d) : {x-1\over2} = {y-2\over3} = {z\over1}\) ¸i ma środek \((1; 1; 4)\)

To egzamin, który zawiera zarówno geometrię, jak i algebrę. Doskonale zrozumiałem algebrę, ale geometria ma w głowie logikę 0.

Dzięki!

[radagast]

a) Punkty A (1; 2; 1); B (2; 1; 0); C (3; 3; a); D (4; 4; 4): Znajdź a tak, aby 4 punkty były współpłaszczyznowe .

Najpierw znajdźmy równanie płaszczyzny ABD:
\( \vec{AB} =[1,-1,-1]\)
\( \vec{AD} =[3,2,3]\)
\( \vec{AB} \times \vec{AD}= [-1,-6,5] \)
Równanie płaszczyzny ABD ma postać \(-x-6y+5z+Q=0\)
należy jeszcze wyznaczyć Q:
\(-1-12+5+Q=0\)
\(Q=8\)
Równanie płaszczyzny ABD to\(-x-6y+5z+8=0\)
Teraz należy tak dobrać a aby punkt C leżał na płaszczyźnie ABD :
\(-3-18+5a+8=0\)
\(5a=13\)
\(a= \frac{13}{5}=2,6 \)

[radagast]

2) Wyznacz równanie sfery stycznej do prostej : (d) : (x-1)/2 = (y-2) /3 = z/1 ¸i ma środek (1; 1; 4)

wektor równoległy do zadanej prostej :\([2,3,1]\)
punkt przez , który ona przechodzi :\((1,2,0)\)
No to przedstawienie parametryczne :\((2t+1,3t+2,t)\)
Znajdźmy odległość środka (1; 1; 4) od prostej \((2t+1,3t+2,t)\):
\([2t,3t+1,t-4] \perp [2,3,1] \iff 4t+9t+3+t-4=0 \iff t= \frac{1}{14} \)
czyli odległość punktu (1,1,4) od prostej \((2t+1,3t+2,t)\) jest taka jak odległość punktów (1,1,4) i \((\frac{16}{14}, \frac{31}{14},\frac{1}{14})\),
no to wynosi :\( \sqrt{ \left(\frac{2}{14} \right)^2+ \left( \frac{3}{14}\right)^2+ \left(\frac{1}{14} \right)^2 }= \sqrt{ \frac{4+9+1}{14} } =1 \)
Równanie sfery: \((x-1)^2+(y-1)^2+(z-4)^2=1\)

[radagast]

podpunktu b) niestety nie rozumiem. Sprawdź czy dobrze przepisałaś.