Znaleźć rozwiązanie równania

[takamatematyka]

Znajdź wszystkie trójki liczb całkowitych dodatnich takie, że:
\(1/x+1/y=1/z\)

Dzięki

[radagast]

Dobra będzie każda trójka postaci:

1) \(x=y=2k,z=k,k \in C\)
wtedy:
\(\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}= \frac{1}{2k}+ \frac{1}{2k}= \frac{2}{2k} = \frac{1}{k} = \frac{1}{z}\)
czyli np:
\(\frac{1}{2}+ \frac{1}{2} = \frac{1}{1}\)
\(\frac{1}{4}+ \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{6}+ \frac{1}{6} = \frac{1}{3}\)
itd
2) \(x=k(k+1),y=k+1,z=k,k \in C\)
wtedy:
\(\frac{1}{x}+ \frac{1}{y}= \frac{1}{k(k+1)}+ \frac{1}{k+1}= \frac{1}{k(k+1)}+ \frac{k}{k(k+1)}= \frac{1}{k}= \frac{1}{z}\)
czyli np:
\(\frac{1}{6}+ \frac{1}{3} = \frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{12}+ \frac{1}{4} = \frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{20}+ \frac{1}{5} = \frac{1}{4}\)
itd
Pozostało dowieść , że innych nie ma (o ile to prawda).

[radagast]

Myślę, że w dowodzie można by się posłużyć twierdzeniem zamieszczonym prze Ciebie tu: viewtopic.php?f=46&t=83214 oczywiście, po jego uprzednim udowodnieniu.
Jak na gimnazjum to są to dość trudne zadania, chociaż przyznam, że nie wymagają wiadomości spoza gimnazjum.

[takamatematyka]

Zadanie zrobiłam wykorzystując właśnie wskazane twierdzenie. Potrzebuję dowodu, a nie radzę sobie z nim.
Będę wdzięczna za pomoc

[radagast]

udowodniłam : viewtopic.php?f=46&t=83214&p=303425#p303425

[takamatematyka]

DZIĘKUJĘ!!!