Znajdź rozwiązania równania dla dodatnich liczb całkowitych

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
takamatematyka
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 39
Rejestracja: 23 maja 2016, 10:47
Podziękowania: 19 razy
Płeć:

Znajdź rozwiązania równania dla dodatnich liczb całkowitych

Post autor: takamatematyka » 11 maja 2017, 13:15

(1/x)+ (1/y)+(1/z)=3/5
Muszę rozwiązać to równanie za pomocą określenia przedziału w jakim znajdują się zmienne.
Proszę o pomoc!

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1409
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Otrzymane podziękowania: 599 razy
Płeć:

Post autor: kerajs » 11 maja 2017, 22:12

Wiadomo że
\(\frac{1}{5} + \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}\)
Dlatego najmniejsza z niewiadomych musi przyjąć jedną z wartości :2,3,4
Stąd rozwiązaniami są trójki:
(2,11,110)
(2,12,60)
(2,14,35)
(2,15,30)
(2,20,20)
(3,4,60)
(3,5,15)
(3,6,9)
(4,4,10)

takamatematyka
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 39
Rejestracja: 23 maja 2016, 10:47
Podziękowania: 19 razy
Płeć:

Post autor: takamatematyka » 12 maja 2017, 13:21

Dziękuję, jednak nadal nie wiem dlaczego najmniejsza z niewiadomych przyjmuje wartości akurat 2, 3 lub 4....

kerajs
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1409
Rejestracja: 14 lis 2016, 15:38
Otrzymane podziękowania: 599 razy
Płeć:

Post autor: kerajs » 12 maja 2017, 15:33

Masz równanie rozwiązać w liczbach naturalnych.
Trójka (5,5,5) mówi że jeśli choć jeden ze składników sumy będzie mniejszy od \(\frac{1}{5}\) (mianownik większy od 5) to inny składnik musi być większy od \(\frac{1}{5}\) czyli mieć mianownik mniejszy od 5. Jednocześnie musi on być większy od 1 bo ułamek 1/1 sam jest większy od 3/5.
Stąd założenie że najmniejsza z niewiadomych musi przyjąć jedną z wartości :2,3,4.
Mam teraz trzy łatwiejsze przypadki:
a)\(a=2\\
\frac{1}{2} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}= \frac{3}{5}\\
\frac{1}{b}+ \frac{1}{c}= \frac{1}{10}\)

b)\(a=3\\
\frac{1}{3} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}= \frac{3}{5}\\
\frac{1}{b}+ \frac{1}{c}= \frac{4}{9}\)

c)\(a=4\\
\frac{1}{4} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}= \frac{3}{5}\\
\frac{1}{b}+ \frac{1}{c}= \frac{7}{20}\)


Ich rozwiązania podałem powyżej.