równanie z dwiema niewiadomymi

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

równanie z dwiema niewiadomymi

Post autor: radagast »

Kiedyś już to zrobiłam ale teraz nijak nie chce mi wyjść. Nie pomyliłam się, to jest zadanie gimnazjalne ( i tylko takie metody mnie interesują). Zadanie pochodzi z egzaminu wstępnego do liceum.


Wyznacz wszystkie pary liczb rzeczywistych \(x, y\) spełniających równanie.

\(x^2 + y^2 + 9 = 3(x + y) + xy\)

Jedną parę znalazłam : (3,3) ale to tyle. Dalej ani rusz :( .
Awatar użytkownika
kamil13151
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1528
Rejestracja: 14 kwie 2011, 19:31
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 170 razy
Otrzymane podziękowania: 502 razy
Płeć:

Re: równanie z dwiema niewiadomymi

Post autor: kamil13151 »

Duża wskazówka:

Równanie jest równoważne temu:
\((x-3)^2+(y-3)^2=(x-3)(y-3)\)
Przemo10
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 631
Rejestracja: 12 wrz 2011, 17:15
Podziękowania: 2 razy
Otrzymane podziękowania: 218 razy
Płeć:

Re: równanie z dwiema niewiadomymi

Post autor: Przemo10 »

Skorzystaj z:
\(x^2+y^2+z^2 \ge xy+xz+yz; x,y,z \in R\)
Lub po prostu pomnóż obustronnie razy \(2\)
i dalej jak w dowodzie powyższej nierównośći
radagast
Guru
Guru
Posty: 17549
Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 41 razy
Otrzymane podziękowania: 7435 razy
Płeć:

Post autor: radagast »

Rozwiązanie Kamila już dobie zapisałam.
Wygląda to tak:
ScreenHunter_406.jpg
ScreenHunter_406.jpg (28.3 KiB) Przejrzano 2763 razy
Rzeczywiście, zdolny gimnazjalista jest w stanie to zrozumieć :D .
Dzięki Kamil.
Awatar użytkownika
kamil13151
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 1528
Rejestracja: 14 kwie 2011, 19:31
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 170 razy
Otrzymane podziękowania: 502 razy
Płeć:

Re: równanie z dwiema niewiadomymi

Post autor: kamil13151 »

Można zdecydowanie prościej: używając nierówności o średnich AM-GM bądź:

\((x-3)^2+(y-3)^2=(x-3)(y-3)\)

Niech \(x-3=a\) oraz \(y-3=b\).

Mamy \(a^2+b^2=ab\). Można od razu obliczyć deltę, z której będzie wynikać, że \(b=0\). Dalej prosto.

Jednak i bez delty można się obyć, równoważnie mamy postać \(\left(a- \frac{b}{2} \right)^2+ \frac{3b^2}{4}=0\), skąd natychmiastowy wniosek, że \(b=0\).

Bądź pomnożyć przez 2 i mamy \(a^2+b^2+(a-b)^2=0\).
ODPOWIEDZ