Kiedyś już to zrobiłam ale teraz nijak nie chce mi wyjść. Nie pomyliłam się, to jest zadanie gimnazjalne ( i tylko takie metody mnie interesują). Zadanie pochodzi z egzaminu wstępnego do liceum.
Wyznacz wszystkie pary liczb rzeczywistych \(x, y\) spełniających równanie.
\(x^2 + y^2 + 9 = 3(x + y) + xy\)
Jedną parę znalazłam : (3,3) ale to tyle. Dalej ani rusz .
równanie z dwiema niewiadomymi
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
- kamil13151
- Fachowiec
- Posty: 1528
- Rejestracja: 14 kwie 2011, 19:31
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 170 razy
- Otrzymane podziękowania: 502 razy
- Płeć:
Re: równanie z dwiema niewiadomymi
Duża wskazówka:
Równanie jest równoważne temu:
\((x-3)^2+(y-3)^2=(x-3)(y-3)\)
Równanie jest równoważne temu:
\((x-3)^2+(y-3)^2=(x-3)(y-3)\)
-
- Stały bywalec
- Posty: 631
- Rejestracja: 12 wrz 2011, 17:15
- Podziękowania: 2 razy
- Otrzymane podziękowania: 218 razy
- Płeć:
Re: równanie z dwiema niewiadomymi
Skorzystaj z:
\(x^2+y^2+z^2 \ge xy+xz+yz; x,y,z \in R\)
Lub po prostu pomnóż obustronnie razy \(2\)
i dalej jak w dowodzie powyższej nierównośći
\(x^2+y^2+z^2 \ge xy+xz+yz; x,y,z \in R\)
Lub po prostu pomnóż obustronnie razy \(2\)
i dalej jak w dowodzie powyższej nierównośći
- kamil13151
- Fachowiec
- Posty: 1528
- Rejestracja: 14 kwie 2011, 19:31
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 170 razy
- Otrzymane podziękowania: 502 razy
- Płeć:
Re: równanie z dwiema niewiadomymi
Można zdecydowanie prościej: używając nierówności o średnich AM-GM bądź:
\((x-3)^2+(y-3)^2=(x-3)(y-3)\)
Niech \(x-3=a\) oraz \(y-3=b\).
Mamy \(a^2+b^2=ab\). Można od razu obliczyć deltę, z której będzie wynikać, że \(b=0\). Dalej prosto.
Jednak i bez delty można się obyć, równoważnie mamy postać \(\left(a- \frac{b}{2} \right)^2+ \frac{3b^2}{4}=0\), skąd natychmiastowy wniosek, że \(b=0\).
Bądź pomnożyć przez 2 i mamy \(a^2+b^2+(a-b)^2=0\).
\((x-3)^2+(y-3)^2=(x-3)(y-3)\)
Niech \(x-3=a\) oraz \(y-3=b\).
Mamy \(a^2+b^2=ab\). Można od razu obliczyć deltę, z której będzie wynikać, że \(b=0\). Dalej prosto.
Jednak i bez delty można się obyć, równoważnie mamy postać \(\left(a- \frac{b}{2} \right)^2+ \frac{3b^2}{4}=0\), skąd natychmiastowy wniosek, że \(b=0\).
Bądź pomnożyć przez 2 i mamy \(a^2+b^2+(a-b)^2=0\).