rozwiaż
a pierwiastek z (x2 -2x) > 4-2x
b (x-4) pierwiastek z (x+4) < 2-4x
c pierwiastek z (4x -x2) > x - 2
d pierwiastek z (5x2 +10x +1) > 7 -2x - x2
Zadania z ksiazki wydawnicto politechniki gdańskiej podstawy z elementami mtematyki wyzszej jest to zadanie 1.79 4 ostatnie przykłady
x2- x do kwadratu
prosze o szybką pomoc
nierówności potęgowe
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
a)
\(\sqrt{x^2-2x}>4-2x\)
Dziedzina nierówności:
\(x^2-2x\ge0\\x(x-2)\ge0\\x\in(-\infty;\ 0>\ \cup\ <2;\ \infty)\)
Jeśli prawa strona nierówności przyjmuje wartości ujemne, to nierówność jest prawdziwa w swojej dziedzinie
\(4-2x<0\\2x>4\\x>2\)
Jednym ze zbiorów rozwiązań jest
\(x\in(2;\ \infty)\)
Jeśli \(x=2\), to mamy:
\(\sqrt{0}<0\)
nieprawdziwa
Weźmy więc \(x\le0\). Wtedy obie strony nierówności są dodatnie
\(x^2-2x>(4-2x)^2\\x^2-2x>16-16x+4x^2\\3x^2-14x+16<0\\\Delta=196-192=4\\x_1=\frac{14+2}{6}=\frac{8}{3}\ \vee\ x_2=\frac{14-2}{6}=2\\x\in(2;\ 2\frac{2}{3})\\\emptyset\)
Rozwiązaniem nierówności jest więc zbiór;
\(x\in(2;\ \infty)\)
\(\sqrt{x^2-2x}>4-2x\)
Dziedzina nierówności:
\(x^2-2x\ge0\\x(x-2)\ge0\\x\in(-\infty;\ 0>\ \cup\ <2;\ \infty)\)
Jeśli prawa strona nierówności przyjmuje wartości ujemne, to nierówność jest prawdziwa w swojej dziedzinie
\(4-2x<0\\2x>4\\x>2\)
Jednym ze zbiorów rozwiązań jest
\(x\in(2;\ \infty)\)
Jeśli \(x=2\), to mamy:
\(\sqrt{0}<0\)
nieprawdziwa
Weźmy więc \(x\le0\). Wtedy obie strony nierówności są dodatnie
\(x^2-2x>(4-2x)^2\\x^2-2x>16-16x+4x^2\\3x^2-14x+16<0\\\Delta=196-192=4\\x_1=\frac{14+2}{6}=\frac{8}{3}\ \vee\ x_2=\frac{14-2}{6}=2\\x\in(2;\ 2\frac{2}{3})\\\emptyset\)
Rozwiązaniem nierówności jest więc zbiór;
\(x\in(2;\ \infty)\)
-
Galen
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9161 razy
a)Jeśli obie strony są nieujemne,to można je podnieść do kwadratu i liczyć x:
\(\sqrt{x^2-2x}>4-2x\;\;\;\;\;\;\;4-2x\ge 0\;czyli\;\;x\le 2\;\;ponadto\;\;x^2-2x\ge 0\;x(x-2)\ge 0\;\;x\in(-\infty;0>\cup <2;+\infty)\)
\(x\in (-\infty;0>\\
x^2-2x<(4-2x)^2\\
x^2-2x>16-16x+4x^2\\
3x^2-14x+16<0
wtedy \;\;x\in (2;2\frac{2}{3})\)
Ale tu nie ma liczb \(x\in (-\infty;0>\) W tym przypadku nie ma rozwiązań.
Drugi przypadek
lewa strona nieujemna i prawa ujemna.Wtedy nierówność jest spełniona.
\(x^2-2x\ge 0\;\;\;i\;\;\;4-2x< 0\)
\(x\in(-\infty;0>\cup <2;+\infty)\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;x\in(2;+\infty)\)
Część wspólna \(x\in (2;+\infty)\)
Odp.
\(x\in (2;+\infty)\)
\(\sqrt{x^2-2x}>4-2x\;\;\;\;\;\;\;4-2x\ge 0\;czyli\;\;x\le 2\;\;ponadto\;\;x^2-2x\ge 0\;x(x-2)\ge 0\;\;x\in(-\infty;0>\cup <2;+\infty)\)
\(x\in (-\infty;0>\\
x^2-2x<(4-2x)^2\\
x^2-2x>16-16x+4x^2\\
3x^2-14x+16<0
wtedy \;\;x\in (2;2\frac{2}{3})\)
Ale tu nie ma liczb \(x\in (-\infty;0>\) W tym przypadku nie ma rozwiązań.
Drugi przypadek
lewa strona nieujemna i prawa ujemna.Wtedy nierówność jest spełniona.
\(x^2-2x\ge 0\;\;\;i\;\;\;4-2x< 0\)
\(x\in(-\infty;0>\cup <2;+\infty)\;\;\;\;\;i\;\;\;\;\;x\in(2;+\infty)\)
Część wspólna \(x\in (2;+\infty)\)
Odp.
\(x\in (2;+\infty)\)
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.
c)
\(\sqrt{4x-x^2}>x-2\)
Dziedzina nierówności:
\(4x-x^2\ge0\\-x(x-4)\ge0\\x\in<0;\ 4>\)
Jeśli prawa strona nierówności jest ujemna, to nierówność jest prawdziwa w swojej dziedzinie
\(x-2<0\\x<2\)
Jednym ze zbiorów rozwiązań jest
\(x\in<0;\ 2)\)
Jeśli \(x=2\), to mamy;
\(\sqrt{0}<0\)
nierówność nieprawdziwa.
Niech więc
\(x\in(2;\ 4>\)
Wtedy obie strony przyjmują wartości dodatnie
\(4x-x^2>(x-2)^2\\4-x^2>x^2-4x+4\\2x^2-8x+4<0\\x^2-4x+2<0\\\Delta=16-8=8\\x_1=\frac{4-2\sqrt{2}}{2}=2-\sqrt{2}\ \vee\ x_2=2+\sqrt{2}\\x\in(2-\sqrt{2};\ 2+\sqrt{2})\)
\(x\in(2;\ 2+\sqrt{2})\)
Nierówność jest spełniona dla
\(x\in<0;\ 2)\ \cup\ (2;\ 2+\sqrt{2})\)
\(\sqrt{4x-x^2}>x-2\)
Dziedzina nierówności:
\(4x-x^2\ge0\\-x(x-4)\ge0\\x\in<0;\ 4>\)
Jeśli prawa strona nierówności jest ujemna, to nierówność jest prawdziwa w swojej dziedzinie
\(x-2<0\\x<2\)
Jednym ze zbiorów rozwiązań jest
\(x\in<0;\ 2)\)
Jeśli \(x=2\), to mamy;
\(\sqrt{0}<0\)
nierówność nieprawdziwa.
Niech więc
\(x\in(2;\ 4>\)
Wtedy obie strony przyjmują wartości dodatnie
\(4x-x^2>(x-2)^2\\4-x^2>x^2-4x+4\\2x^2-8x+4<0\\x^2-4x+2<0\\\Delta=16-8=8\\x_1=\frac{4-2\sqrt{2}}{2}=2-\sqrt{2}\ \vee\ x_2=2+\sqrt{2}\\x\in(2-\sqrt{2};\ 2+\sqrt{2})\)
\(x\in(2;\ 2+\sqrt{2})\)
Nierówność jest spełniona dla
\(x\in<0;\ 2)\ \cup\ (2;\ 2+\sqrt{2})\)