Nierówność

[piter1422]

Wykaż że dla dowolnych \(a \in R^+\) i \(b \in R^+\)zachodzi nierówność:

\(\frac{2}{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} } \le sqrt{ab}\)

[radagast]

\(\frac{2}{ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} } \le sqrt{ab} \Leftrightarrow
\frac{2ab}{ a+b } \le sqrt{ab}\)
obie strony śą dodatnie zatem można podnieść do kwadratu:
\(\frac{4ab}{a^2+2ab+b^2} \le 1 \Leftrightarrow
4ab \le a^2+2ab+b^2 \Leftrightarrow
a^2-2ab+b^2 \ge 0 \Leftrightarrow
(a-b)^2 \ge 0\)