Zadania z wielomianów

[sszyszka93]

zad.3.
Znajdz liczbe wiedząc, że jesli podzieli sie przez 12 da reszte 8,jesli sie ja podzieli przez 7 da reszte 0 oraz, że suma współczynników uzyskanych w obu podzialach wynosi 164.
odp.728

zad.5
Wielomian \(p(x) = ax^2+ bx +c\) jest podzielny przez x+1 i x-3 .Dzielac go przez x-1 uzyskuje sie reszte 4.Jakie sa wspolczynniki wielomianu?
odp.a=-1,b=2,c=3

zad.6
Wielomian p(x) = x-4ax+3bx-2c jest podzielny przez 2x+1 i dzielac go przez x-1 i przez x+2 uzyskuje sie odpowiednio reszte -1i 1.Jakie sa jego wspolczynniki?
odp.a=-3/8 , b=-13/18 , c=2/3

[irena]

1.
A co to są te współczynniki? Czy ilorazy?
a- szukana liczba
a=12k+8
a=7l
k, l- liczby naturalne
\(12k+8=7l\\k+l=164\\l=164-k\\l=164-k\\7(164-k)=12k+8\\1148-7k=12k+8\\19k=1140\\k=60\\a=12\cdot60+8\\a=728\)

[irena]

5.
\(\begin{cases}p(-1)=0\\p(3)=0\\p(-1)=4 \end{cases} \\ \begin{cases}a(-1)^2+b(-1)+c=0\\a\cdot3^9+b\cdot3+c=0\\a\cdot1^2+b\cdot1+c=4 \end{cases} \\ \begin{cases}a-b+c=0\\9a+3b+c=0\\a+b+c=4 \end{cases}\)
Dodaję stronami pierwsze i trzecie równanie
\(2a+2c=4\\a+c=2\)

Wstawiam to do trzeciego:
\(b+2=4\\b=2\)

Wstawiam za b do pierwszego i drugiego dwójkę:
\(\begin{cases} a-2+c=0\\9a+6+c=0 \end{cases}\)
Od drugiego odejmuję pierwsze:
\(8a+8=0\\a=-1\)
\(-1+c=2\\c=3\)

\(\begin{cases}a=-1\\b=2\\c=3 \end{cases}\)

[irena]

5.
\(p(x)=x^3-4ax^2+3bx-3c\)

Podobnie, jak w poprzednim:

\(\begin{cases}p(-\frac{1}{2})=0\\p(1)=-1\\p(-2)=1 \end{cases}\)