rownania

[sszyszka93]

1.-x^2+5x-6 \x^2+4x+1 >lub rowne

2.
{x^2-4 \x^2+1<0 <0
{ -x^2+5x-6\x^2+4x+1 >lub rowne

[sszyszka93]

1.rozwiaz rownanie
x^2-4\x^+1<0

[irena]

1.
\(\frac{-x^2+5x-6}{x^2+4x+1} \ge 0\)

Najpierw dziedzina- mianownik musi być różny od 0.

\(x^2+4x+1=0\\\Delta=16-4=12\\\sqrt{\Delta}=2\sqrt{3}\\x_1=\frac{-4-2\sqrt{3}}{2}=-2-\sqrt{3}\ \vee \ x_2=\frac{-4+2\sqrt{3}}{2}=-2+\sqrt{3}\\D=R \setminus \left\{-2-\sqrt{3};\ -2+\sqrt{3} \right\}\)

Rozkładam na czynniki mianownik:
\(x^2+4x+1=(x+2+\sqrt{3})(x+2-\sqrt{3})\)

Rozkładam na czynniki licznik:
\(-x^2+5x-6=0\\\Delta=25-24=1\\\sqrt{\Delta}=1\\x'=\frac{-5-1}{-2}=3\ \vee \ x"=\frac{-5+1}{-2}=2\\-x^2+5x-6=-(x-2)(x-3)\)

Zamieniam iloraz na iloczyn (mają ten sam znak), pamiętając o dziedzinie:

\((-x^2+5x-6)(x^2+4x+1) \ge 0\\-(x-2)(x-3)(x+2-\sqrt{3})(x+2+\sqrt{3}) \ge 0\ /\cdot(-1)\\(x-2)(x-3)(x+2+\sqrt{3})(x+2-\sqrt{3}) \le 0\\x \in (-2-\sqrt{3};\ -2+\sqrt{3})\ \cup \ <2;\ 3>\)

[irena]

2.
\(\begin{cases}\frac{x^2-4}{x^2+1}<0\\\frac{-x^2+5x-6}{x^2+4x+1} \ge 0 \end{cases}\)

Druga nierówność jest już rozwiązana.

rozwiązuję pierwszą:

wyrażenie \(x^2+1\) przyjmuje wartości dodatnie dla każdej rzeczywistej liczby x, więc
\(\frac{x^2-4}{x^2+1}< \Leftrightarrow\ x^2-4<0\ \Leftrightarrow x \in (-2;\ 2)\)

I wracam do układu nierówności:

\(\begin{cases}x \in (-2;\ 2)\\x \in (-2-\sqrt{3};\ -2+\sqrt{3})\ \cup \ <2;\ 3> \end{cases}\)

Liczba -2 jest między liczbami \(-2-\sqrt{3}\) i \(-2+\sqrt{3}\). Liczba 2 jest między liczbami \(-2+\sqrt{3}\) i \(3\).

Zaznaczam rozwiązania obu nierówności na osi liczbowej i znajduję ich wspólną część:
\(x \in (-2;\ -2+\sqrt{3})\)

[irena]

1.rozwiaz rownanie
x^2-4\x^+1<0

Masz już rozwiązanie- w zad. 2.
\(x \in (-2;\ 2)\)

[Galen]

1)
\(\frac{x^2-4}{x^2+1}<0\)
Ułamek jest ujemny jeśli licznik i mianownik są różnych znaków (tak jest w mnożeniu dwóch liczb oraz w dzieleniu dwóch liczb).
W Twoim przykładzie mianownik jest dodatni,zatem licznik MUSI być ujemny.
\(x^2-4<0\)
Wykresem funkcji \(f(x)=x^2-4\) jest parabola o wartościach ujemnych między miejscami zerowymi,stąd odpowiedź :
\(x \in (-2;2)\)

To takie wyjaśnienie...nie wiem czy jest Ci potrzebne...
Ale...na wszelki wypadek wpisuję...