Problem nierówności wartości bezwzględnej

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
urvasjets
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 16 cze 2022, 13:51
Płeć:

Problem nierówności wartości bezwzględnej

Post autor: urvasjets » 16 cze 2022, 14:34

Tak więc utknąłem na tym problemie już od jakiegoś czasu i byłbym wdzięczny za kilka wskazówek, jak dobrze zacząć.

Jakie wartości \(x\) spełniają \(|1-{1\over x}|>a\), gdzie \(a > 0\)?

Do tej pory znalazłem wartości krytyczne w kategoriach \(a\), czyli \({1\over1-a}\) i \({1\over 1+a}\), ale nie mam pojęcia, jak testować regiony, ponieważ wartość, którą wybieram, aby zastąpić pierwotną nierówność, jest różna w zależności od wartości \(a\).
Ostatnio zmieniony 16 cze 2022, 16:45 przez Jerry, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości, cała "matematyka" w kodzie i [tex] [/tex]

Awatar użytkownika
Jerry
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2204
Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
Podziękowania: 30 razy
Otrzymane podziękowania: 1035 razy

Re: Problem nierówności wartości bezwzględnej

Post autor: Jerry » 16 cze 2022, 17:38

Dana nierówność
\(|1-{1\over x}|>a\)
jest równoważna, w \(D=\rr\setminus\{0\}\) i dla \(a > 0\), kolejno
\(|x-1|>a|x|\\
(x-1)^2>a^2x^2\\
(ax)^2-(x-1)^2<0\\
(ax-x+1)(ax+x-1)<0\)
Iloczyn liczb jest ujemny wtw, gdy liczby są przeciwnych znaków, czyli
\(\begin{cases}ax-x+1<0\\ax+x-1>0\end{cases}\vee\begin{cases}ax-x+1>0\\ax+x-1<0\end{cases}\\
\begin{cases}(a-1)x<-1\\(a+1)x>1\end{cases}\vee\begin{cases}(a-1)x>-1\\(a+1)x<1\end{cases}\)
  • Dla \(a\in(0;1)\) mamy
    \(\begin{cases}x>{-1\over a-1}\\x>{1\over a+1}\end{cases}\vee\begin{cases}x<{-1\over a-1}\\x<{1\over a+1}\end{cases}\\
    (x>{-1\over a-1}\vee x<{1\over a+1})\wedge x\ne0\\ \)
  • Dla \(a=1\) mamy
    \(\begin{cases}0<-1\\2x>1\end{cases}\vee\begin{cases}0>-1\\2x<1\end{cases}\\
    (x\in\emptyset\vee x<{1\over2})\wedge x\ne0\\\)
  • Dla \(a>1\) mamy
    \(\begin{cases}x<{-1\over a-1}\\x>{1\over a+1}\end{cases}\vee\begin{cases}x>{-1\over a-1}\\x<{1\over a+1}\end{cases}\\
    (x\in\emptyset\vee {-1\over a-1}<x<{1\over a+1})\wedge x\ne0\)
Pozdrawiam
PS. Wizualizacja (uruchom suwak!)
Teksty matematyczne pisz w kodzie \(\color{blue}{\LaTeX}\): https://zadania.info/fil/latex.pdf
Ktoś poświęcił Ci swój czas i pomógł? Podziękuj Mu klikając 👍 .