Nierówność z wartością bezwzględną

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
agix97
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 1
Rejestracja: 05 sie 2019, 22:07
Podziękowania: 3 razy
Płeć:

Nierówność z wartością bezwzględną

Post autor: agix97 » 05 sie 2019, 22:14

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tych dwóch przykładów, najchętniej z jakimś wyjaśnieniem

\(a) \begin{cases}|x|>2 \\ |x-2|<3 \end{cases} \)

\(b) \begin{cases}|x-1|<3 \\ |x-2| \ge 1 \end{cases}\)

Dziękuję i pozdrawiam

Awatar użytkownika
Scino
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 58
Rejestracja: 23 wrz 2018, 18:55
Otrzymane podziękowania: 15 razy
Płeć:

Re: Nierówność z wartością bezwzględną

Post autor: Scino » 06 sie 2019, 11:46

\(a)\) z pierwszej nierówności otrzymujemy:
(dla \(x \ge 0)\) \(x>2\), stąd \(x \in \left(2;+\infty \right) \)
oraz (dla \(x<0\)) \(-x>2\), stąd \(x \in \left(-\infty;-2 \right) \)
zatem zbiór spełniający ten warunek, to suma tych przedziałów, czyli \(x \in \left(-\infty;-2 \right) \cup \left(2;+\infty \right) \)
z drugiej nierówności:
dla (\(x-2 \ge 0 \iff x \ge 2\)) \(x-2<3 \iff x<5\), zbiór, to \(x \in \left[ 2; 5 \right) \) oraz
(dla \(x-2<0 \iff x<2\)) \(-x+2<3 \iff x>-1\), zbiór, to \(x \in \left(-1;2 \right) \)
Sumą oby dwu zbiorów jest \(x \in \left(-1;2 \right) \cup \left[2;5 \right) = \left( -1;5\right) \)

Teraz jedynie wystarczy wyznaczyć iloczyn wyznaczonych zbiorów (ich część wspólną, spełniającą jednocześnie oba warunki).
W efekcie dostajemy, że \(x \in \left( -1;-2\right) \cup \left(2;5 \right) \)

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 13722
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Otrzymane podziękowania: 8076 razy
Płeć:

Re: Nierówność z wartością bezwzględną

Post autor: eresh » 06 sie 2019, 12:11

agix97 pisze:
05 sie 2019, 22:14
Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tych dwóch przykładów, najchętniej z jakimś wyjaśnieniem


\(b) \begin{cases}|x-1|<3 \\ |x-2| \ge 1 \end{cases}\)

Dziękuję i pozdrawiam
pierwsza nierówność:
\(|x-1|<3\\
-3<x-1<3\\
-2<x<4\\
x\in (-2,4)\)


druga:
\(|x-2|\geq 1\\
x-2\geq 1\;\;\; \vee \;\;x-2\leq -1\\
x\geq 3\;\;\vee\;\;x\leq 1\\
x\in (-\infty, 1]\cup [3,\infty\)


częścią wspólną obu rozwiązań jest \(x\in (-2,1]\cup [3,4)\)

Awatar użytkownika
eresh
Mistrz
Mistrz
Posty: 13722
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Otrzymane podziękowania: 8076 razy
Płeć:

Re: Nierówność z wartością bezwzględną

Post autor: eresh » 06 sie 2019, 12:16

Scino pisze:
06 sie 2019, 11:46


Teraz jedynie wystarczy wyznaczyć iloczyn wyznaczonych zbiorów (ich część wspólną, spełniającą jednocześnie oba warunki).
W efekcie dostajemy, że \(x \in \left( -1;-2\right) \cup \left(2;5 \right) \)
iloczynem będzie zbiór \((2,5)\) :wink:

\( \left[(-\infty, -2)\cup (2,\infty) \right] \cap (-1,5)=(2,5)\)

Awatar użytkownika
Scino
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 58
Rejestracja: 23 wrz 2018, 18:55
Otrzymane podziękowania: 15 razy
Płeć:

Re: Nierówność z wartością bezwzględną

Post autor: Scino » 06 sie 2019, 20:31

Scino pisze:
06 sie 2019, 11:46
[...]\(x \in \left( -1;-2\right) \)[...]
:shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock:
A chciałem zaszaleć bez rysowania przedziałów na ośce :lol: