Nierówność z wartością bezwzględną

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
agix97
Dopiero zaczynam
Dopiero zaczynam
Posty: 29
Rejestracja: 05 sie 2019, 22:07
Podziękowania: 17 razy
Płeć:

Nierówność z wartością bezwzględną

Post autor: agix97 »

Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tych dwóch przykładów, najchętniej z jakimś wyjaśnieniem

\(a) \begin{cases}|x|>2 \\ |x-2|<3 \end{cases} \)

\(b) \begin{cases}|x-1|<3 \\ |x-2| \ge 1 \end{cases}\)

Dziękuję i pozdrawiam
Awatar użytkownika
Scino
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 62
Rejestracja: 23 wrz 2018, 18:55
Podziękowania: 5 razy
Otrzymane podziękowania: 15 razy
Płeć:

Re: Nierówność z wartością bezwzględną

Post autor: Scino »

\(a)\) z pierwszej nierówności otrzymujemy:
(dla \(x \ge 0)\) \(x>2\), stąd \(x \in \left(2;+\infty \right) \)
oraz (dla \(x<0\)) \(-x>2\), stąd \(x \in \left(-\infty;-2 \right) \)
zatem zbiór spełniający ten warunek, to suma tych przedziałów, czyli \(x \in \left(-\infty;-2 \right) \cup \left(2;+\infty \right) \)
z drugiej nierówności:
dla (\(x-2 \ge 0 \iff x \ge 2\)) \(x-2<3 \iff x<5\), zbiór, to \(x \in \left[ 2; 5 \right) \) oraz
(dla \(x-2<0 \iff x<2\)) \(-x+2<3 \iff x>-1\), zbiór, to \(x \in \left(-1;2 \right) \)
Sumą oby dwu zbiorów jest \(x \in \left(-1;2 \right) \cup \left[2;5 \right) = \left( -1;5\right) \)

Teraz jedynie wystarczy wyznaczyć iloczyn wyznaczonych zbiorów (ich część wspólną, spełniającą jednocześnie oba warunki).
W efekcie dostajemy, że \(x \in \left( -1;-2\right) \cup \left(2;5 \right) \)
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Nierówność z wartością bezwzględną

Post autor: eresh »

agix97 pisze: 05 sie 2019, 22:14 Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu tych dwóch przykładów, najchętniej z jakimś wyjaśnieniem


\(b) \begin{cases}|x-1|<3 \\ |x-2| \ge 1 \end{cases}\)

Dziękuję i pozdrawiam
pierwsza nierówność:
\(|x-1|<3\\
-3<x-1<3\\
-2<x<4\\
x\in (-2,4)\)


druga:
\(|x-2|\geq 1\\
x-2\geq 1\;\;\; \vee \;\;x-2\leq -1\\
x\geq 3\;\;\vee\;\;x\leq 1\\
x\in (-\infty, 1]\cup [3,\infty\)


częścią wspólną obu rozwiązań jest \(x\in (-2,1]\cup [3,4)\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
eresh
Guru
Guru
Posty: 16825
Rejestracja: 04 cze 2012, 13:41
Podziękowania: 6 razy
Otrzymane podziękowania: 10381 razy
Płeć:

Re: Nierówność z wartością bezwzględną

Post autor: eresh »

Scino pisze: 06 sie 2019, 11:46

Teraz jedynie wystarczy wyznaczyć iloczyn wyznaczonych zbiorów (ich część wspólną, spełniającą jednocześnie oba warunki).
W efekcie dostajemy, że \(x \in \left( -1;-2\right) \cup \left(2;5 \right) \)
iloczynem będzie zbiór \((2,5)\) :wink:

\( \left[(-\infty, -2)\cup (2,\infty) \right] \cap (-1,5)=(2,5)\)
Podziękuj osobie, która rozwiązała Ci zadanie klikając na ikonkę 👍
Awatar użytkownika
Scino
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 62
Rejestracja: 23 wrz 2018, 18:55
Podziękowania: 5 razy
Otrzymane podziękowania: 15 razy
Płeć:

Re: Nierówność z wartością bezwzględną

Post autor: Scino »

Scino pisze: 06 sie 2019, 11:46 [...]\(x \in \left( -1;-2\right) \)[...]
:shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock: :shock:
A chciałem zaszaleć bez rysowania przedziałów na ośce :lol:
ODPOWIEDZ