Zadania różne

Zadania niepasujące do innych kategorii.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
betagama
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 2
Rejestracja: 24 lis 2014, 22:48
Podziękowania: 1 raz
Płeć:

Zadania różne

Post autor: betagama » 25 lis 2014, 21:53

zad 1 Wyznacz najmniejszą możliwą wartość wyrażenia a+b3 (do potęgi 3), gdzie a i b są dodatnimi liczbami
o iloczynie równym 1.
zad 2 Na przyjęcie przyszło n osób. Początkowo każdy miał dokładnie 3 znajomych wśród
pozostałych osób obecnych na przyjęciu. W trakcie przyjęcia niektóre osoby poznały się,
w wyniku czego pod koniec przyjęcia każdy miał wśród pozostałych obecnych dokładnie 4
znajomych. Wyznacz wszystkie liczby n, dla których opisana sytuacja jest możliwa. (Przyjmujemy, że jeśli osoba A zna osobę B, to osoba B zna osobę A.)

Galen
Guru
Guru
Posty: 18339
Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
Podziękowania: 3 razy
Otrzymane podziękowania: 9104 razy

Post autor: Galen » 25 lis 2014, 23:36

1)
\(a>0\\b>0\\a \cdot b=1\\a= \frac{1}{b}\\a+b^3= \frac{1}{b}+b^3\)
Wartość wyrażenia jest funkcją argumentu b.
Należy wyznaczyć jej minimum...
\(f(b)= \frac{1}{b}+b^3 \\f'(b)=- \frac{1}{b^2}+3b^2\)
\(f'(b)=0\;\;gdy\;\;- \frac{1}{b^2}+3b^2=0\\-1+3b^4=0\\ b^4= \frac{1}{3} \;\; \So \;\;b=( \frac{1}{3} )^{ \frac{1}{4} }= \frac{1}{ \sqrt[4]{3} }\)
\(a= \sqrt[4]{3}\)
W obliczonym punkcie b pochodna zmienia znak z "-" na "+"
stąd wniosek że funkcja f(b) osiąga minimum.
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9844 razy
Płeć:

Post autor: irena » 26 lis 2014, 22:47

To zadania z trwającego konkursu gimnazjalistów (termin do 15. grudnia)