2 zadania z deltoidem i trójkątem.

Zadania niepasujące do innych kategorii.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Piranha122
Witam na forum
Witam na forum
Posty: 7
Rejestracja: 17 cze 2010, 17:20
Podziękowania: 1 raz

2 zadania z deltoidem i trójkątem.

Post autor: Piranha122 » 27 mar 2014, 17:24

Witam, czy ktoś mógłby rozwiązać, lub naprowadzić jak powinno się rozwiązać te dwa zadania? Z góry dziękuję za pomoc ;)

1. W trójkącie ABC punkty M i N są rzutami prostokątnymi wierzchołka C na dwusieczne kątów zewnętrznych odpowiednio przy wierzchołkach A i B. Udowodnij, że odcinek MN jest równy połowie obwodu trójkąta ABC.

2. Długośd odcinka łączącego środki przeciwległych boków deltoid jest równa 3, a jedna z przekątnych jest równa 2. Oblicz pole deltoidu.

Panko
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2939
Rejestracja: 20 gru 2013, 22:41
Lokalizacja: Radom
Otrzymane podziękowania: 1554 razy
Płeć:

Post autor: Panko » 27 mar 2014, 22:13

2. Można postąpić łopatologicznie czyli na siłę wprowadzić układ współrzędnych , o środku w punkcie przecięcia się przekątnych deltoidu ( a są one prostopadłe do siebie )
Deltoid \(ABCD\) ma następujące współrzędne wierzchołków w tym układzie :
\(A=(0,b)\) \(\\)\(B=(1,0)\) \(\\)\(C=(0,a)\) \(\\)\(A=(-1,0)\) \(\\)

Czyli przekątna \(DB\) o długości \(2\) zawiera się w osi \(OX\) , a przekątna \(AC\) w osi \(OY\)
Przyjmuję ,że \(a>0\) czyli \(C\) leży wyżej niż \(A\) bo \(b<0\)
Wtedy środek boku \(BC\) to punkt \(S_1= ( \frac{1}{2} , \frac{a}{2} )\)
Wtedy środek boku \(DA\) to punkt \(S_2= ( -\frac{1}{2} , \frac{b}{2} )\)
Długość \(|S_1S_2| =3\) oraz \(|S_1S_2| = \sqrt{ ( \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} )^2+ ( \frac{a}{2} - \frac{b}{2} )^2}\)
Zauważamy, że przekątna \(|CA| = a+|b| =a-b\) bo \(b<0\) , oznaczmy \(|CA| =d\)
Dostaję : \(3 = \sqrt{ ( \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} )^2+ ( \frac{a}{2} - \frac{b}{2} )^2}\)
\(3 = \sqrt{ ( \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} )^2+ ( \frac{d}{2} )^2}\)
\(d= \sqrt{32}\) i POLE deltoidu= \(\frac{1}{2} *2*\sqrt{32}\)
................................................................................
Tyle na tę chwilę. Czy to wyczerpuje różnorodność deltoidów ?
...............................................................................
Może łatwiej pójdzie z twierdzeniem: W dowolnym czworokącie odcinki łączące środki przeciwległych boków czworokąta i odcinek łączący środki przekątnych czworokąta przecinają się w jednym punkcie i dzielą na połowy.

Panko
Fachowiec
Fachowiec
Posty: 2939
Rejestracja: 20 gru 2013, 22:41
Lokalizacja: Radom
Otrzymane podziękowania: 1554 razy
Płeć:

Post autor: Panko » 27 mar 2014, 22:34

1.
a) Jeżeli tylko potrafisz zrobić dobry rysunek to całe zadanie sprowadza się do zastosowania
faktu : w trójkącie odcinek łączący środki dwóch boków jest równoległy do trzeciego boku i równy jego połowie
b)Weź prostą zawierającą bok \(AB\) .
Obrazem punktu \(C\) w symetrii osiowej względem prostej zawierającej dwusieczną kąta zewnętrznego przy wierzchołku \(A\) jest taki punkt \(C_1\) ,że leży na prostej \(AB\)\(\\) i \(\\) \(AC_1=AC\)
Obrazem punktu \(C\) w symetrii osiowej względem prostej zawierającej dwusieczną kąta zewnętrznego przy wierzchołku \(B\) jest taki punkt \(C_2\) ,że leży na prostej \(AB\)\(\\) i \(\\) \(BC_2=BC\)
Tym samym odcinek \(C_2C_1\) ma długość równą obwodowi \(\Delta ABC\)
Punkty : \(M\) --jest środkiem odcinka \(C_1C\) ,\(\\)\(\\) ,\(N\) --jest środkiem odcinka \(C_2C\)
Do trójkąta \(\Delta C_2CC_1\) stosujemy faktu

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9844 razy
Płeć:

Re: 2 zadania z deltoidem i trójkątem.

Post autor: irena » 28 mar 2014, 09:08

Piranha122 pisze:Witam, czy ktoś mógłby rozwiązać, lub naprowadzić jak powinno się rozwiązać te dwa zadania? Z góry dziękuję za pomoc ;)



2. Długośd odcinka łączącego środki przeciwległych boków deltoid jest równa 3, a jedna z przekątnych jest równa 2. Oblicz pole deltoidu.
Odcinki łączące środki kolejnych boków czworokąta są równoległe do przekątnych deltoidu, a ich długości to połowa długości przekątnych.
Ponieważ przekątne deltoidu są prostopadłe, to boki środki boków deltoidu są wierzchołkami prostokąta.
W tym prostokącie jeden z boków ma długość równą 1, a odcinek łączący środki przeciwległych boków to przekątna prostokąta.
Drugi bok tego prostokąta obliczamy z twierdzenia Pitagorasa:
\(x^2+1^2=3^2\\x^2=9-1=8\\x=2\sqrt{2}\)

Druga przekątna tego deltoidu ma więc długość
\(2\cdot2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\)

Pole deltoidu:
\(P=\frac{1}{2}\cdot2\cdot4\sqrt{2}=4\sqrt{2}\)

irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9844 razy
Płeć:

Re: 2 zadania z deltoidem i trójkątem.

Post autor: irena » 28 mar 2014, 09:26

Piranha122 pisze:Witam, czy ktoś mógłby rozwiązać, lub naprowadzić jak powinno się rozwiązać te dwa zadania? Z góry dziękuję za pomoc ;)

1. W trójkącie ABC punkty M i N są rzutami prostokątnymi wierzchołka C na dwusieczne kątów zewnętrznych odpowiednio przy wierzchołkach A i B. Udowodnij, że odcinek MN jest równy połowie obwodu trójkąta ABC.
Narysuj trójkąt ABC, oznacz:
|AB|=c
|BC|=a
|AC|=b

\(Ob_{ABC}=a+b+c\)

Przedłuż podstawę AB w prostą AB.

Poprowadź dwusieczne zewnętrznych kątów trójkąta o wierzchołkach A i B.

Poprowadź przez punkt C prostą prostopadłą do dwusiecznej kąta zewnętrznego o wierzchołku A.
Nazwij:
- M- punkt przecięcia tej prostej z dwusieczną
- K- punkt przecięcia tej prostej z prostą AB

W trójkącie KAC odcinek AM to dwusieczna kąta KAC i wysokość opuszczona na bok KC.
Trójkąt KAC jest więc równoramienny i |KA|=|AC|=b.

Poprowadź przez punkt C prostą prostopadłą do dwusiecznej kąta zewnętrznego o wierzchołku B.
Nazwij:
- N- punkt przecięcia tej prostej z dwusieczną
- L- punkt przecięcia tej prostej z prostą AB.

W trójkącie BLC odcinek BN to dwusieczna kąta CBL i wysokość poprowadzona na bok LC.
Trójkąt CBL jest więc równoramienny i |BL|=|BC|=a.

Na prostej AB masz:
|KL|=b+c+a.

W trójkącie KLC odcinek MN łączy środki boków KC i LC.
Odcinek ten jest więc równoległy do boku KL (do prostej AB) i równy połowie boku KL.

\(|MN|=\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}\cdot Ob_{ABC}\)