Wykazanie równania

Zadania niepasujące do innych kategorii.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
greta17
Rozkręcam się
Rozkręcam się
Posty: 43
Rejestracja: 24 lis 2011, 12:58
Podziękowania: 21 razy
Płeć:

Wykazanie równania

Post autor: greta17 » 30 lis 2013, 15:34

Wykaż, że jeśli a>1 oraz b<1 , to ab+ 1<a+b.

radagast
Guru
Guru
Posty: 17028
Rejestracja: 09 lis 2010, 08:38
Lokalizacja: Warszawa
Podziękowania: 28 razy
Otrzymane podziękowania: 7185 razy
Płeć:

Post autor: radagast » 01 gru 2013, 09:31

Trzeba jeszcze dołożyć założenie, że b>0 (inaczej to nie jest prawda):
\(ab+1<a+b \Leftrightarrow \\
\frac{a}{b} + \frac{1}{b^2}< \frac{a}{b^2}+ \frac{1}{b} \Leftrightarrow \\
\frac{a}{b}- \frac{1}{b} < \frac{a}{b^2}- \frac{1}{b^2} \Leftrightarrow \\
\frac{1}{b} \left(a-1 \right) < \frac{1}{b^2} \left(a-1 \right) \Leftrightarrow \\
\frac{1}{b} < \frac{1}{b^2} \Leftrightarrow \\
b^2<b \Leftrightarrow\\
|b|<1\)

a to jest prawda z założenia
CBDO

ef39
Stały bywalec
Stały bywalec
Posty: 501
Rejestracja: 15 sie 2012, 21:03
Podziękowania: 12 razy
Otrzymane podziękowania: 274 razy

Re: Wykazanie równania

Post autor: ef39 » 01 gru 2013, 11:07

\(ab+1<a+b\\
ab+1-a-b<0\\
a(b-1)-(b-1)<0\\
(a-1)(b-1)<0\)

co jest prawdziwe z założenia, bo a-1>0 oraz b-1<0