Wykazanie równania

[greta17]

Wykaż, że jeśli a>1 oraz b<1 , to ab+ 1<a+b.

[radagast]

Trzeba jeszcze dołożyć założenie, że b>0 (inaczej to nie jest prawda):
\(ab+1<a+b \Leftrightarrow \\
\frac{a}{b} + \frac{1}{b^2}< \frac{a}{b^2}+ \frac{1}{b} \Leftrightarrow \\
\frac{a}{b}- \frac{1}{b} < \frac{a}{b^2}- \frac{1}{b^2} \Leftrightarrow \\
\frac{1}{b} \left(a-1 \right) < \frac{1}{b^2} \left(a-1 \right) \Leftrightarrow \\
\frac{1}{b} < \frac{1}{b^2} \Leftrightarrow \\
b^2<b \Leftrightarrow\\
|b|<1\)
a to jest prawda z założenia
CBDO

[ef39]

\(ab+1<a+b\\
ab+1-a-b<0\\
a(b-1)-(b-1)<0\\
(a-1)(b-1)<0\)
co jest prawdziwe z założenia, bo a-1>0 oraz b-1<0