Planimetria

[krysia78]

Witam ,mam kilka zadan ,ktore sprawiaja mi trudnosci w rozwiazaniu. pomozecie mi?
1. W trojkacie rownoramiennym kat przy podstawie ma miare 30 stopni,a obwod trojkata wynosi 12. oblicz pole.
2. W trojkacie rownoramiennym suma dlugosci ramieniai wysokosci wynosi b, a kat przy podstawie wynosi \alpha . Oblicz pole trojkata.
3. Dwa boki trojkata maja dlugosci 6 i 10 ,a kat miedzy nimi zawarty ma miare 60 stopni.Oblicz wysokosc opuszczona na trzeci bok.
4. Dwa boki trojkata maja dlugosci 4 i 6 ,a jego pole wynosi 6 \sqrt{3} .Oblicz trzeci bok.
5. Na kwadracie opisano okrag i w kwadrat wpisano okrag. Pole powstalego pierscienia wynosi 5 \pi .Oblicz pole kwadratu.

[Galen]

1)
Narysuj trójkąt równoramienny ABC.
Oznacz podstawę |AB|=2a,ramiona |AC|=|BC|=b, wysokość z C nazwij h.
Szukasz Pole trójkąta
\(P=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot h\)
\(sin30^o=\frac{h}{b}=\frac{1}{2}\;\;\;\;\;h=0,5b\)
Obwód:
\(2a+2b=12\;\;\;\;\;\;\;\;\;a+b=6\;\;\;\;zatem\;\; a=6-b\)
Pitagoras
\(a^2+h^2=b^2\)
\(a^2+(\frac{1}{2}b)^2=b^2\;\;\;\;\;podstaw\;\;a=6-b\\
(6-b)^2+\frac{b^2}{4}=b^2\;\;\;\;\;\;\;\;b<6\\
36-12b+b62+\frac{b^2}{4}-b^2=0\\
\frac{1}{4}b^2-12b+36=0\\
\Delta=108=36\cdot 3\;\;\;\;\;\;\;\sqrt{\Delta}=3\sqrt{3}\\
b=24-12\sqrt{3}\;\;\;\;wtedy\;\;\;h=12-6\sqrt{3}\;\;\;\;\;a=6-b=-18+12\sqrt{3}\)
\(P= \frac{1}{2}\cdot 2a\cdot h=a\cdot h=(-18+12 \sqrt{3})(12-6 \sqrt{3})=-432+252\sqrt{3}\approx 4,48\approx 4,5\)

[irena]

1.
Narysuj trójkąt ABC o podstawie AB i ramionach AC i BC i danym kącie ostrym przy podstawie.
Poprowadź wysokość CD na podstawę.

Oznacz:
\(|AD|=|DB|=a\\|AC|=|BC|=b\)

\(2a+2b=12\\a+b=6\)

Trójkąt BCD to połowa trójkąta równobocznego o boku b i wysokości h
\(a=\frac{b\sqrt{3}}{2}\\\frac{b\sqrt{3}}{2}+b=6\ /\cdot2\\b(2+\sqrt{3})=12\ /\cdot(2-\sqrt{3})\\b(4-3)=12(2-\sqrt{3}\)

Pole trójkąta ABC jest równe polu trójkąta równobocznego o boku b
\(P=\frac{[12(2-\sqrt{3})]^2\cdot\sqrt{3}}{4}=\frac{144(4-4\sqrt{3}+3)\sqrt{3}}{4}=36(7\sqrt{3}-12)\)

[Matematyk_64]

Ad 1)
1) Poprowadź wysokość z wierzchołka trójkąta do podstawy. powstaną dwa trójkąty \((30,60,90)\)
2) Oznacz wysokość przez x wówczas połowa podstawy będzie miała długość \(x \sqrt{3}\), a ramię \(2x\)
Obwód wyniesie łącznie \(4x + 2\sqrt{3} x = (4+2\sqrt{3}) x\)
Rozwiązując równanie
\((4+2\sqrt{3}) x = 12\)

otrzymamy x, czyli wysokość

\(x = 6(2-\sqrt{3})\)

Podstawa ma długość \(2\sqrt{3} x\)czyli po przeliczeniach \(12(2\sqrt{3} -3)\)
Pole z tego wyjdzie
\(\frac{1}{2} \cdot 12(2\sqrt{3} -3)6(2-\sqrt{3}) = ... = 36(7\sqrt{3} - 12)\)

[irena]

5.
Promień okręgu wpisanego w kwadrat jest równy połowie boku kwadratu, a promień okręgu opisanego- połowie przekątnej kwadratu.

a- bok kwadratu
\(P_o=\pi\cdot(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2=\pi\cdot\frac{2a^2}{4}=\frac{\pi}{2}a^2\\P_w=\pi\cdot(\frac{a}{2})^2=\frac{\pi}{4}a^2\\P_o-P_w=5\pi\\\frac{\pi}{2}a^2-\frac{\pi}{4}a^2=5\pi\\\frac{a^2}{4}=5\\a^2=20\\P_k=20\)

[irena]

4.
\(\alpha\)- kąt między danymi bokami

\(P=6\sqrt{6}=\frac{1}{2}\cdot4\cdot6sin\alpha\\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\\\alpha_1=60^0\ \vee\ \alpha_2=120^0\\cos\alpha_1=\frac{1}{2}\ \vee\ cos\alpha_2=-\frac{1}{2}\\c_1^2=4^2+6^2-2\cdot4\cdot6\cdot\frac{1}{2}=16+36-10=42\\c_1=\sqrt{42}\\c_2^2=4^2+6^2-2\cdot4\cdot6\cdot(-\frac{1}{2})=16+36+10=62\\c_2=\sqrt{62}\)

[irena]

3.
\(P=\frac{1}{2}\cdot6\cdot10sin60^0=30\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}\)

\(c^2=6^2+10^2-2\cdot6\cdot10cos60^0=36+100-120\cdot\frac{1}{2}=76\\c=2\sqrt{19}\)

\(\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{19}\cdot h=15\sqrt{3}\\h=\frac{15\sqrt{3}}{\sqrt{19}}=\frac{15\sqrt{57}}{19}\)

[irena]

2.
\(h+c=b\\\frac{h}{c}=sin\alpha\\c=\frac{h}{sin\alpha}\\h+\frac{h}{sin\alpha}=b/\ \cdot sin\alpha\\h(sin\alpha+1)=b sin\alpha\\h=\frac{b sin\alpha}{sin\alpha+1}\)

\(\frac{1}{2}{a}{h}=ctg\alpha\\a=2h ctg\alpha=\frac{2b sin\alpha}{sin\alpha+1}\cdot\frac{cos\alpha}{sin\alpha}=\frac{2b cos\alpha}{sin\alpha+1}\)

\(P=\frac{1}{2}\cdot\frac{b sin\alpha}{sin\alpha+1}\cdot\frac{2b cos\alpha}{sin\alpha+1}=\frac{b sin\alpha cos\alpha}{(sin\alpha+1)^2}\)