objętosć stożka

[anek1108]

Objętość stożka równa jest 3 pierwiastek 3 pi, a tworząca jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem alfa = 30 stopni
a. Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka.
b. Wykaż, że stosunek objętość do pola powierzchni całkowitej stożka wynosi 2 - pierwiastek3.

[patryk00714]

\(v= \frac{1}{3} \pi r^2h\)

\(3 \sqrt{3}= \frac{1}{3} r^2h\)

\(tg30^ \circ = \frac{h}{r} \Rightarrow \frac{ \sqrt{3} }{3}r=h\)

\(9 \sqrt{3}= \frac{ \sqrt{3} }{3}r^3 \Rightarrow r=3\)

\(h= \sqrt{3}\)

teraz liczymy tworzącą: \(sin30^ \circ = \frac{ \sqrt{3} }{l} \Rightarrow l=2 \sqrt{3}\)

zatem

\(P= \pi r^2+ \pi rl=9 \pi +6 \sqrt{3} \pi=3 \pi (3+2 \sqrt{3)}\)

[patryk00714]

\(\frac{3 \sqrt{3 } \pi}{3 \pi (3+2 \sqrt{3}) }= \frac{ \sqrt{3} }{3+2 \sqrt{3} }= \frac{ \sqrt{3}(3- 2 \sqrt{3} ) }{-3}= \frac{3 \sqrt{3}-6 }{-3}=2- \sqrt{3}\)