Wykaż podzielność liczb

[klaudiag16]

4. Wykaż, że liczba postaci:
a) \(2^{16}\)+\(2^{15}\)+\(2^{12}\) jest podzielna przez 5
b) \(3^{18}\)+\(6^{17}\) jest podzielna przez 5
c) \(8^9\)-\(4^{15}\)+\(2^{32}\)+\(16^7\) jest podzielna przez 3
d) \(6^5\)-\(12^3\)-\(24^2\) jest podzielna przez 19

[irena]

a)
\(2^{16}+2^{15}+2^{12}=2^{12}\cdot2^4+2^3+1)=2^{12}\cdot(16+8+1)=2^{12}\cdot25=25\cdot2^{12}\)

Liczba ta jest wielokrotnością liczby 25, cczyli dzieli się przez 25. Dzieli się więc na pewno przez 5.

[irena]

b)
\(3^{18}+6^{17}=3^{18}+2^{17}\cdot3^{17}=3^{17}(3+2^{17})\)

\(2^1=2\\2^2=4\\2^3=8\\2^4=16\\2^5=32\\.\\.\\.\\2^{17}=131072\)

Ostatnie cyfry kolejnych potęg liczby 2 dają 4-elementowy cykl: 2, 4, 8, 6
Reszta z dzielenia liczby 17 przez 4 jest równa 1, więc ostatnia cyfra liczby \(2^{17}\) to 2.

Ostatnią cyfrą liczby \(3+2^{17}\) jest więc 5.
Liczba \(3^{17}\) jest liczbą nieparzystą.

Ostatnia cyfra liczby \(3^{17}\cdot(3+2^{17})\) to 5.
Liczba ta dzieli się więc przez 5.

[irena]

c)
\(8^9-4^{15}+2^{32}+16^7=2^{27}-2^{30}+2^{32}+2^{28}=2^{27}\cdot(1-2^3+2^5+2)=2^{27}\cdot(1-8+32+2)=\\=27\cdot2^{27}=3\cdot(9\cdot2^{27})\)

Liczba ta jest wielokrotnością liczby 3, więc dzieli się przez 3.

[irena]

d)
\(6^5-12^3-24^2=6^5-2^3\cdot6^3-6^2\cdot4^2=6^2\cdot(6^3-2^3\cdot6-4^2)=6^2\cdot(216-48-16)=\\=152\cdot6^2=19\cdot(8\cdot6^2)\)

Liczba ta jest wielokrotnością liczby 19, czyli dzieli się przez 19.