Rozkład dwuwymiarowy i jego parametry

[Ola00]

Wektor losowy \((X,Y)\) ma dwuwymiarowy rozkład normalny o parametrach \(EX = 3\), \(EY =2\), \(Var X=1\), \(VarY =7\), \(Cov(X,Y)=−2\).
a) Podać macierz kowariancji \(Σ\) oraz wektor wartości oczekiwanych \(m\).
b) Czy zmienne te są skorelowane?
c) Czy zmienne \(X\) i \(Y\) są niezależne
d) Czy wektor gaussowski, którego \( Σ =\left( \begin{array}{c}3 & 0\\0& 4\end{array}\right) \) oraz \(m = (−2,0)\) posiada niezależne składowe?

[uziom]

a) Macierz kowariancji:
\( Σ = \left(\begin{array}{cc} Var(X) & Cov(X,Y)\ Cov(X,Y) & Var(Y)\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1 & -2\ -2 & 7\end{array}\right) \)

Wektor wartości oczekiwanych:
\( m = \left(\begin{array}{c} E(X)\ E(Y)\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 3\ 2\end{array}\right) \)

b) Tak, zmienne \(X\) i \(Y\) są skorelowane, ponieważ \(Cov(X,Y) \neq 0\).

c) Nie, zmienne \(X\) i \(Y\) nie są niezależne, ponieważ skoro \(Cov(X,Y) \neq 0\), to korelacja między nimi nie jest zerowa, co oznacza, że zmienne są ze sobą skorelowane.

d) Tak, skoro macierz kowariancji ma postać \( Σ =\left( \begin{array}{c}3 & 0&0& 4\end{array}\right) \) to oznacza, że zmienne \(X\) i \(Y\) są niezależne.

[janusz55]

(a)
\( M(X,Y) = \left(\begin{matrix} 1 & -2 \\ -2 & 7 \end{matrix}\right) \)

b)
Obliczamy współczynnik korelacji liniowej-Pearsona:

\( r_{X,Y} = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_{X}\cdot \sigma_{Y}} = \frac{-2}{\sqrt{1}\cdot \sqrt{7}} = \frac{-2}{\sqrt{7}}= \frac{-2}{7}\sqrt{7}\approx -0,76. \)

Współczynnik korelacji liniowej Pearsona ma wartość ujemną (zmienne losowe \( X,Y \) są skorelowane ujemnie, oznacza to, że im większe wartości przyjmuje zmienna losowa \( X \) tym mniejsze wartości musi przyjąć zmienna losowa \( Y. \)

(d)

Z postaci macierzy

\( \Sigma =\left( \begin{array}{c}3 & 0\\0& 4\end{array}\right)\)

wynika, że \( Cov (X, Y)= Cov(Y,X) = 0 \) -zmienne losowe \( X, Y \) są niezależne.